Esercizio 3 Dinamica

Un blocco scivola lungo un piano liscio avente un’inclinazione di α = 25⁰ rispetto all’orizzontale. Se il blocco parte da fermo dalla sommità del piano inclinato e se la lunghezza del piano è S = 3 m , trovare l’accelerazione e la velocità del blocco quando raggiunge il fondo.

Come al solito andiamo subito a disegnarci l’esercizio.

Sulla massa agiscono la forza peso P, sempre diretta verso il basso, e la reazione vincolare R_n che è sempre perpendicolare al piano.

Abbiamo messo in evidenza la scelta degli assi, l’asse t è quello del moto e l’asse n è quello normale. Perchè scegliere gli assi in questo modo e non lasciare i soliti x e y ? Primo perchè non ce lo vieta nessuno, secondo perchè ci conviene, in questo modo minimizziamo le forze e ci semplifichiamo la vita.

Partiamo con lo scrivere il secondo principio della dinamica per la nostra massa m, ricordiamo che si esprime come :

$\displaystyle{\sum \overrightarrow{F} = m\times \overrightarrow{a}}$

La somma di tutte le forze applicate alla massa m produce l’accelerazione a. Nel nostro caso :

$\displaystyle{ \overrightarrow{P}+ \overrightarrow{R_n}= m\times \overrightarrow{a}}$

Questa equazione vettoriale la proiettiamo lungo gli assi t e n ottenendo due equazioni scalari.

$\displaystyle{\begin{cases}R_n -P\cos \alpha=ma_n=0\qquad asse\quad n\\P\sin \alpha=ma_t\qquad\qquad \qquad asse\quad t\end{cases}}$

Ovviamente la prima equazione è uguale a zero dato che non c’è movimento lungo l’asse n, infatti a_n = 0.

Dalla seconda equazione, ponendo P = m g otteniamo l’accelerazione :

$\displaystyle{m\times g \sin\alpha = m\times a }$

Semplifichiamo la massa m

g sinα = a

Questa è l’accelerazione della massa quando scende lungo il piano inclinato, è g mitigata dalla presenza dell’angolo α. E’ un’accelerazione costante, visto che g è costante e anche l’angolo α.

Possiamo calcolarci a :

a = g sinα = 9,81 sin 25 = 4,14 m/s²

Passiamo alla seconda domanda, alla velocità con cui arriva alla base del piano inclinato, abbiamo stabilito che il moto è uniformemente accelerato, a = costante, quindi la velocità è :

v = v₀ + a t

possiamo porre v₀ = 0 visto che la massa parte da ferma.

v = a t

dove a è g sinα , ci serve il tempo. Dato che conosciamo lo spazio, per semplice integrazione della velocità otteniamo S. Senza ricordare nulla a memoria, partiamo dalla definizione di velocità

$\displaystyle{v=\frac{ds}{dt}\quad\longrightarrow ds=vdt\quad\longrightarrow\int_{s_0}^{s}\, ds =\int_{t_0}^{t}v\, dt=\int_{t_0}^{t}a\, t\, dt}$

Da cui

$\displaystyle{s-s_0=\frac{1}{2} a (t-t_0)^2}$

Poniamo S₀ = 0 spazio iniziale nullo e t₀ = 0 , inizio della nostra osservazione. Quando è possibile ci conviene sempre porre le condizioni iniziali pari a zero.

$\displaystyle{s=\frac{1}{2} a t^2}$

Da qui ricaviamo il tempo

$\displaystyle{t = \sqrt{\frac{2s}{a}}= \sqrt{\frac{2\times 3}{4,14}}=1,20 s}$

A questo punto basta sostituire in v = a t per avere la velocità finale

v = 4,14 x 1,20 = 4,97 m/s

Probabilmente vi ricordate che la velocità con la quale una massa arriva alla base di un piano inclinato è

$\displaystyle{v = \sqrt{2gh}}$

la nostra è diversa ?

v = a t

al posto di a mettiamo g sinα e al posto di t l’espressione trovata prima

$\displaystyle{v =g\sin\alpha\sqrt{\frac{2s}{g\sin\alpha}}=\sqrt{g\sin\alpha 2s}}$

dato che h = s sinα

$\displaystyle{v = \sqrt{2gh}}$

La fisica non è affatto diffice, basta non cercare di ricordarsi le cose a memoria.