Rototraslazione

Consideriamo una ruota posta orizzontalmente (su di un piano), essa sia vincolata a ruotare intorno al suo centro. Stando orizzontalmente, la forza peso e’ compensata (dal piano). La mettiamo in rotazione tramite una forza F

il cardine C ha una reazione e la ruota inizia a girare nel senso della coppia.

Prima equazione cardinale

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\textbf{F}}^{est}=\overrightarrow{\textbf{F}}+\overrightarrow{\textbf{R}}_C=ma=0}}$

E’ pari a zero perche’ non c’e’ traslazione. Questo vuol dire che le due forze si compensano, anche se non stanno lungo la stessa linea d’azione. Questo e’ quello che corrisponde alla generazione di una coppia di forze, cioe’ di forze di uguale modulo, di verso opposto e diversa linea di azione.

Seconda equazione cardinale

$\displaystyle{\mathbf{M^{est}=M_F+M_{R_{C}}=F\cdot d+R_C\cdot 0=I_C\cdot\alpha}}$

La reazione del cardine ha momento nullo visto che si trova proprio sull’asse di rotazione.

$\displaystyle{\mathbf{\alpha=\frac{F\, d}{I_C}}}$

Se la forza F e’ costante l’accelerazione angolare e’ pure costante perche’ d, la distanza non cambia, I_C non cambia, quindi il moto e’ uniformemente accelerato e la velocita’ angolare cresce nel tempo con legge

$\displaystyle{\mathbf{\frac{d\omega}{dt}=\alpha=\frac{F\, d}{I_C}\;\longrightarrow\;d\omega=\frac{F\, d}{I_C}\, dt}}$

Integriamo tenendo conto che F, d, I_C sono costanti e considerando nulla la velocita’ angolare al tempo iniziale, considerando cioe’ la ruota inizialmente ferma

$\displaystyle{\mathbf{\omega=\int_{t_0}^{t}\frac{F\cdot d}{I_C}\, dt=\frac{F\cdot d}{I_C}\, t}}$

Fin qui nulla di nuovo, ora mettiamo la ruota in verticale

Le forze sono cambiate, abbiamo la forza peso applicata nel baricentro, la reazione R_n che e’ data dal piano e nel punto di contatto tra ruota e piano e’ presente l’attrito. Per sapere se si tratta di attrito dinamico o di attrito statico dobbiamo vedere cosa succede nel punto di contatto.

La ruota gira e avanza, ossia si muove lungo l’asse del moto pero’ sta’ anche girando. C’e’ un moto combinato di traslazione e rotazione. Se ci ricordiamo che un qualunque moto, comunque complesso puo’ essere sempre decomposto nei due moti di pura traslazione e pura rotazione, possiamo pensare il moto della ruota come un susseguirsi di atti di cui uno traslatorio e uno rotatorio.

In 1) pura traslazione, il punto di contatto striscia

In 2) pura rotazione, ruota attorno ad un asse fisso

Combinando i due moti otteniamo una rototraslazione.

In 1) tutti i punti hanno la stessa velocita’ V

In 2) tutti i punti hanno la stessa velocita’ angolare ω

Stabilito questo, andiamo a scrivere le due equazioni cardinali

Prima equazione cardinale

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\textbf{F}}^{est}=m\overrightarrow{\textbf{a}}_c}}$

e la proiettiamo lungo gli assi X e Y

$\displaystyle{\mathbf{\begin{cases}y\; :\; \textbf{R}_n\textbf{-P=0} \\ x\; :\; \textbf{F-A=ma}_c\end{cases}}}$

Lungo l’asse X la differenza tra la forza F e l’attrito A fa traslare la ruota, a_c e’ l’accelerazione con cui si sposta nel verso del moto, e’ l’accelerazione del centro di massa.

Seconda equazione cardinale

Rispetto a quale asse calcoliamo il momento ? Il centro della ruota non e’ un asse girevole fisso perche’ essa sta’ anche traslando, ci riferiamo comunque a questo punto che e’ il centro di massa e possiamo porre

$\displaystyle{\mathbf{M^{est}=I_C\cdot\alpha}}$

Rispetto a quest’asse R_n e P non hanno momento, il loro braccio e’ nullo. Solo A e F hanno momento

$\displaystyle{\mathbf{M_A^{est}+M_F^{est}=I_C\cdot\alpha}}$

Valutiamo questi momenti, la forza F ha braccio d, teniamo conto che la ruota ha un suo spessore e la forza F e’ applicata ad esempio al centro dello spessore, l’attrito A ha braccio r, raggio della ruota

$\displaystyle{\mathbf{M_F^{est}=F\cdot d}}$

questo momento tende ad accelerare la ruota

$\displaystyle{\mathbf{M_A^{est}=A\cdot r}}$

anche questo momento tende ad accelerare la ruota nello stesso verso di F. Riassumiamo un attimo quanto stabilito

Prima equazione cardinale

$\displaystyle{\mathbf{\begin{cases}\textbf{R}_n\textbf{-P=0} \\ \textbf{F-A=}\textbf{m}\textbf{a}_c\end{cases}}}$

Seconda equazione cardinale

$\displaystyle{\mathbf{A\cdot r+F\cdot d=I_C\cdot\alpha}}$

Vogliamo ora collegare la traslazione (a_C) con la rotazione (α), ossia cerchiamo una relazione tra l’accelerazione del centro di massa e l’accelerazione angolare.

Traslazione : tutti i punti hanno la stessa V=V_C

Rotazione : stessa velocita’ periferica. La velocita’ diminuisce con il raggio fino ad annullarsi al centro della ruota.

Ora combiniamo le due figure

Rototraslazione

Dobbiamo capire che velocita’ nasce. Abbiamo messo in evidenza 4 punti , facciamo la somma delle velocita’ in questi 4 punti, ricordando che abbiamo a che fare con vettori. Nel punto (1) possiamo fare banalmente la somma perche’ sono concordi. Nel centro c’e’ la sola V_C Nei punti (2) e (4) i due vettori sono perpendicolari, li possiamo sommare con Pitagora. Nel punto (3) di contatto con il piano, possiamo avere diversi casi. Puo’ essere ω r > V_C oppure ω r < V_Coppure ω r = V_C, non solo, in quel punto c’e’ anche l’attrito che tente di evitare strisciamenti tra ruota e piano, ossia A vuole fermare quel punto di contatto.

Allora, se ω r < V_Cl’attrito e’ contro V_C , vuole ridurre V_C. Se ω r > V_C l’attrito e’ contro ω r. L’attrito contrasta il maggiore dei due, il suo scopo e’ far si’ che il punto di contatto tra ruota e piano sia fermo, che non ci siano slittamenti. Se accade questo il moto e’ detto di rotolamento. La condizione di rotolamento e’ che

V_C = ω r

Deriviamo questa espressione in cui la ω e la V_C dipendono dal tempo e otteniamo le accelerazioni

a_C = α r

se si instaura il rotolamento α e a_C sono legate

$\displaystyle{\mathbf{\alpha=\frac{a_c}{r}}}$

e l’attrito che si ha e’ statico A_S , perche’ il punto di contatto tra ruota e piano e’ fermo. Riprendiamo la seconda equazione cardinale, in questo caso diventa

$\displaystyle{\mathbf{A_S\cdot r+F\cdot d=I_C\cdot \alpha=I_C\,\frac{a_c}{r}\;\longrightarrow A_S=I_C\,\frac{a_c}{r^2}-F\,\frac{d}{r}}}$

Mettendo questa nella relazione F – A_S = m a_C possiamo trovare l’accelerazione del centro di massa.

$\displaystyle{\mathbf{F-\left (I_c\,\frac{a_c}{r^2}-F\,\frac{d}{r}\right )=ma_c}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{a_c=\frac{F}{m}\left (\frac{d+r}{r}\right )\,\frac{1}{1+\frac{I_C}{mr^2}}}}$

Facciamo subito un esempio, vediamo il caso di una ruota che scende lungo un piano inclinato.

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Rototraslazione

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