Centro di massa per sistemi continui

Prima di vedere il calcolo del centro di massa per sistemi continui dobbiamo dare alcune definizioni.

Densita’

Consideriamo un sitema non discreto, ossia non formato da un insieme di punti, ma continuo, ad esempio una corda

Prendiamo un pezzo infinitesimo dl il quale conterra’ una massa infinitesima dm. Si definisce densita’ lineare

$\displaystyle{\mathbf{\lambda=\frac{dm}{d\textit{l}}}}$ .

λ rappresenta quanta massa c’e’ nel pezzetto dl.

Se la corda e’ omogenea possiamo considerare la densita’ per tutta la sua lunghezza. Indicamdo con M_tot la massa totale e con l la sua lunghezza totale

$\displaystyle{\mathbf{\lambda=\frac{dm}{d\textit{l}}=\frac{M_{tot}}{\textit{l}}}}$ .

La misura della densita’ e’ Kg / m . La densita’ lineare e’ una misura di massa per unita’ di lunghezza ed e’ una caratteristica degli oggetti monodimensionali, ossia che hanno una dimensione molto maggiore delle altre due, come ad esempio corde, tubi e simili.

Consideriamo ora un oggetto in due dimensioni, ad esempio un foglio di carta

e prendiamo una piccola superficie ds, la quale conterra’ la massa dm. Definiamo densita’ superficiale

$\displaystyle{\mathbf{\sigma=\frac{dm}{dS}}}$ .

Se il foglio e’ omogeneo

$\displaystyle{\mathbf{\sigma=\frac{M_{tot}}{S_{tot}}}}$ .

La densita’ superficiale si misura in Kg / m²

Infine consideriamo una massa distribuita in un volume, ad esempio una sfera e prendiamo un volume infinitesimo dV. Definiamo densita’ volumetrica o semplicemente densita’

$\displaystyle{\mathbf{\rho=\frac{dm}{dv}}}$ .

Se la sfera e’ omogenea

$\displaystyle{\mathbf{\rho=\frac{M_{tot}}{dv_{tot}}}}$ .

Vediamo ora il centro di massa per sistemi continui. Abbiamo definito la posizione del centro di massa

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\textbf{r}}_c=\sum_{J=1}^{N}\frac{m_J\overrightarrow{\textbf{r}}_J}{M_{tot}}}}$ .

Se il sistema e’ continuo la sommatoria si trasforma in un integrale

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\textbf{r}}_c=\frac{\int_{m}\overrightarrow{\textbf{r}}\,dm}{M_{tot}}}}$ .

La massa puo’essere distribuita lungo una dimensione oppure su di una superficie o in un volume, di conseguenza l’integrale lungo una linea, superficiale o di volume.

Vediamo il caso di una corda omogenea lunga L. La posizione del centro di massa e’

$\displaystyle{\mathbf{\frac{1}{M_{tit}}\int_{M}\overrightarrow{\textbf{r}}\,dm=\frac{1}{M_{tot}}\int_{L}\overrightarrow{\textbf{r}}\lambda\,dL}}$ .

Abbiamo fatto la sostituzione dm = λ dL . Tenendo conto che la corda e’ tutta lungo X

$\displaystyle{\mathbf{x_c=\frac{1}{M_{tot}}\int_{0}^{L_{tot}}\lambda x\,dx=\frac{1}{M_{tot}}\,\lambda\int_{0}^{L_{tot}}x\,dx=\frac{\lambda}{L_{tot}}\left [\frac{x^2}{2}\right ]_{0}^{L_{tot}}=\frac{\lambda L_{tot}^2}{2M_{tot}}}}$ .

Al posto di λ mettiamo M_tot/L_tot

$\displaystyle{\mathbf{x_c=\frac{M_{tot}}{L_{tot}}\,\frac{L_{tot}^2}{2M_{tot}}}}$ .

Da cui ricaviamo che

$\displaystyle{\mathbf{x_c=\frac{L_{tot}}{2}}}$ .

Il centro di massa e’ a meta’ della lunghezza della corda.

Vediamo ora il caso di un insieme continuo formato da due corde diverse

Le due coede hanno λ₁ ≠ λ₂ , m₁ ≠ m₂ , L₁ ≠ L₂

Invece di fare chissa’ quale calcolo, notiamo che la corda 1 presa da sola ha il centro di massa in posizione

$\displaystyle{\mathbf{x_{c1}=\frac{L_1}{2}}}$ .

Per la seconda corda possiamo fare la stessa considerazione, se e’ lunga L₂ il suo centro di massa stara’ in L₂ / 2 , che rispetto allo zero di riferimanto sara’

$\displaystyle{\mathbf{x_{c2}=L_1+\frac{L_2}{2}}}$ .

Trovati i centri di massa delle due corde possiamo considerare il sistema formato dai due punti X_C1 e X_C2

e calcolare il centro di massa dei due punti

$\displaystyle{\mathbf{x_c=\frac{m_1x_{c1}+m_2x_{c2}}{m_1+m_2}=\frac{m_1\frac{L_1}{2}+m_2\left (L_1+\frac{L_2}{2}\right )}{m_1+m_2}}}$ .

Nella prossima lezione affrontiamo la quantita’ di moto per un sistema di punti.

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Centro di massa per sistemi continui

Densita’

Prossima lezione Quantita’ di moto di un sistema di punti