Pendolo semplice

E’ il moto di una massa m sospesa ad un punto fisso, detto cardine, mediante un filo. Il filo si intende inestensibile e di massa trascurabile.

Il filo ha massa trascurabile

Tutta la massa e’ in m

L e’ la lunghezza del filo

La traiettoria descritta dalla massa m e’ una circonferenza, in realta’ non descrive tutta la circonferenza, ma solo un arco e vedremo che e’ solo un piccolo arco, comunque si tratta di un moto circolare. Attenzione e’ si un moto circolare, ma sicuramente non uniforme. La massa e’ in equilibrio quando e’ sulla verticale

All’equilibrio si ha la compensazione tra la forza peso P e la tensione del filo T.

Come assi prendiamo n e t, con n rivolto sempre verso il centro della traiettoria.

Per il nostro studio partiamo come al solito scrivendo il secondo principio della dinamica per la massa m

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{P}+\overrightarrow{T}=m\overrightarrow{\textbf{a}}=0}}$ .

Proiettiamola lungo l’asse n, per ora lungo t non c’e’ nulla visto che la massa e’ ferma

asse n : T – P = m a_n = 0 ⇒ T = P = mg abbiamo esplicitato P forza peso.

Ora spostiamo la massa m dalla posizione di equilibrio

P e T non si equilibrano

In qualsiasi altra posizione diversa da quella di equilibrio T e P non si bilanciano piu’ e alla massa m risulta applicata una forza risultante che tende a riportarla nella posizione di equilibrio.

Scriviamo di nuovo il secondo principio

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{P}+\overrightarrow{T}=m\overrightarrow{\textbf{a}}}}$

che questa volta e’ diverso da zero perche’ la massa non rimane ferma , scomponiamo ora la nostra equazione vettoriale secondo t e n

asse n : T – Pcosθ = m a_n a_n e’ l’accelerazione normale

asse t : – Psinθ = m a_t a_t e’ l’accelerazione tangenziale

Dobbiamo ora ricordare lo studio dei moti circolari dove avevamo trovato che

$\displaystyle{\mathbf{\textbf{a}_n=\frac{v^2}{R}=\frac{v^2}{L}}}$ .

L e’ proprio il raggio. Inoltre esprimiamo a_t come derivata seconda dello spazio s. Allora le nostre equazioni diventano:

$\displaystyle{\mathbf{T-P\cos\theta=m\textbf{a}_n=m\frac{v^2}{L}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{-P\sin\theta=m\textbf{a}_t=m\frac{d^2s}{dt^2}}}$ .

Dalla prima equazione, quella lungo n, ricaviamo T, lo stato di tensione della fune, dalla seconda, quella lungo t, ricaviamo la legge oraria, ossia come si sposta la massa.

$\displaystyle{\mathbf{T=mg\cos\theta+m\frac{v^2}{L}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{-mg\sin\theta=m\frac{d^2s}{dt^2}}}$ .

Consideriamo la seconda equazione, in essa l’angolo θ non e’ costante, ma funzione del tempo, inoltre sappiamo che

$\displaystyle{\mathbf{s(t)=\theta (t)\cdot L}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{-mg\sin\theta=m\frac{d^2s}{dt^2}\Longrightarrow -g\sin\theta=\frac{d^2s}{dt^2}=\frac{d^2(\theta L)}{dt^2}=L\frac{d^2\theta}{dt^2}}}$ .

Quindi l’equazione diventa

$\displaystyle{\mathbf{-g\sin\theta=L\frac{d^2\theta}{dt^2}\hspace{0,4cm}ossia}}$ :

$\displaystyle{\mathbf{\frac{d^2\theta}{dt^2}+\frac{g}{L}\sin\theta=0}}$ .

L’incognita θ compare nel seno, quella equazione e’ non lineare, e’ il sinθ che la rende non lineare. Per poterla risolvere in maniera semplice la dobbiamo linearizzare. Per far questo notiamo che per piccoli angoli, ossia per θ < 15⁰, si ha che sinθ ≅ θ. Per piccole oscillazioni l’equazione puo’ essere cosi’ linearizzata :

$\displaystyle{\mathbf{\frac{d^2\theta}{dt^2}+\frac{g}{L}\,\theta=0}}$ .

E’ diventata un’equazione differenziale del secondo ordine, a coefficienti costanti, lineare e omogenea. Questa equazione ci ricorda quello che abbiamo gia’ visto nel caso della molla

$\displaystyle{\mathbf{\frac{d^2x}{dt^2}+\frac{k}{m}\, x=0}}$ .

Come soluzione avevamo trovato un moto armonico di pulsazione ω₀

X(t) = C cos(ω₀ t + Φ) con periodo delle oscillazioni dato da:

$\displaystyle{\mathbf{T=\frac{2\pi}{\omega_0}=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}}}$ .

Allora possiamo dire che anche il pendolo avra’ un moto armonico, che ovviamente avviene lungo la circonferenza, e la soluzione e’ :

$\displaystyle{\mathbf{\theta (t)=\theta_{max}\cos (\omega_0 t+\phi)\hspace{0,4cm}con\: T=\frac{2\pi}{\omega_0}=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}}}$ .

Sempre per analogia con la molla.

Il pendolo oscilla tra +θ_max e -θ_max con quel periodo T ( tempo per andare avanti e indietro). Questo pero’ va bene solo per piccoli angoli, solo se θ < 15⁰, altrimenti non e’ affatto vero. Se guardate la formula che da’ il periodo delle piccole oscillazioni vedete che non vi compare l’angolo θ, sotto i 15⁰ il periodo non dipende dall’angolo di inclinazione di partenza. Questo viene chiamato isocronismo delle piccole oscillazioni, in pratica significa che se per farlo oscillare lo inclino di 10⁰ o di 15⁰ il periodo e’ lo stesso, ci mette lo stesso tempo per andare avanti e indietro.

Se invece θ > 15⁰occorre aggiungere un fattore correttivo

$\displaystyle{\mathbf{T=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}\left (1+\frac{1}{4}\,\sin^2 \frac{\theta_{max}}{2} \right )}}$ .

Dove troviamo anche l’angolo di partenza.

Torniamo al caso delle piccole oscillazioni. Per trovare la legge oraria partiamo dall’espressione di θ(t):

θ(t) = θ_max cos(ω₀t + Φ) e teniamo conto che S(t) = θ(t) L

S(t) = L θ_max cos(ω₀t + Φ) o anche S(t) = S_max cos(ω₀t + Φ)

Occupiamoci ora della tensione del filo T, riprendendo l’equazione del secondo principio proiettata lungo l’asse n

$\displaystyle{\mathbf{T=mg\cos\theta + m\frac{V^2}{L}}}$ .

Per trovare T, tensione del filo, ci serve la velocita’ V che viene solitamente trovata tramite considerazioni di tipo energetico che noi non possiamo fare perche’ ancora non abbiamo studiato l’energia. Possiamo pero’ usare un piccolo trucco che consiste nel considerare il fatto che V dipende dalla quota a cui si trova il pendolo.

Il punto 1 e’ il punto di oscillazione massima, e’ il punto dove inverte il suo moto, lo prendiamo come punto di riferimento. Il punto 2 e’ la posizione che occupa nell’istante che stiamo considerando, adesso. Il dislivello e’

L cosθ – L cosθ_max

Per trovare la velocita’, visto che si tratta di un dislivello usiamo quanto visto per il piano inclinato

$\displaystyle{\mathbf{v=\sqrt{2gh}\hspace{0,4cm}da\;cui}}$ :

$\displaystyle{\mathbf{v(\theta)=\sqrt{2g(L\cos\theta - L\cos\theta_{max})}=\sqrt{2gL(\cos\theta - cos\theta_{max})}}}$ .

La tensione T e’ allora data da:

$\displaystyle{\mathbf{T=mg\cos\theta+m\frac{V^2}{L}=mg\cos\theta+m\frac{\left (\sqrt{2gL(\cos\theta - \cos\theta_{max})}\right )^2}{L}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{T=mg\cos\theta+m\frac{2gL(\cos\theta - \cos\theta_{max})}{L}=mg(\cos\theta+2(\cos\theta - \cos\theta_{max}))}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{T=mg(3\,\cos\theta - 2\,\cos\theta_{max})}}$ .

Questa e’ la tensione del filo che corrisponde a quell’angolo θ, non ad un angolo qualsiasi. La tensione T cambia a seconda dell’angolo, non e’ uniforme. T e’ massima quando cosθ = 1, ossia quando θ = 0. La tensione T e’ massima dove e’ massima la velocita’.

T_max = mg(3cosθ – 2cosθ_max)

Ritroveremo questo risultato quando affronteremo l’energia, per ora abbiamo usato questo espediente per far vedere che la tensione T non e’ uniforme, ma varia con l’angolo, quindi mano a mano che oscilla la tensione del filo varia.

Vediamo un caso particolare. Puo’ accadere che vi troviate davanti ad un esercizio di questo tipo :

dove la massa oscilla entro una guida circolare. Nella posizione della figura di sopra la massa M e’ nella posizione di equilibrio. La spostiamo e la portiamo fuori equilibrio

La reazione normale Rn svolge lo stesso ruolo della tensione del filo T. Siamo in un caso del tutto analogo a quello del pendolo, e’ sempre un moto circolare visto che tale e’ la guida. Scriviamo il secondo principio nei due casi

$\displaystyle{\mathbf{Pendolo\hspace{0,2cm} \overrightarrow{P}+\overrightarrow{T}=m\overrightarrow{\textbf{a}}\hspace{1cm}Guida\hspace{0,2cm}\overrightarrow{P}+\overrightarrow{R}_n=m\overrightarrow{\textbf{a}}}}$ .

Dato che i due casi sono del tutto simili usiamo i risultati del pendolo. Per la nostra guida avremo un periodo T:

$\displaystyle{\mathbf{T=2\pi\sqrt{\frac{r}{g}}}}$

dove r e’ il raggio di curvatura della guida.

Rn = mg(3cosθ – 2cosθ_max)

Guida circolare o pendolo e’ la stessa cosa.

Dalla prossima lezione iniziamo lo studio delle forze apparenti, prima di affrontarlo dovete essere sicuri di aver capito quanto visto sui moti relativi.

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