Momento della quantita’ di moto

Anche il momento della quantita’ di moto si puo’ valutare rispetto ad un polo e rispetto ad un asse.

Iniziamo dal momento della quantita’ di moto rispetto ad un polo, ossia ad un punto.

E’ la stessa situazione di prima, soltanto che ora abbiamo la quantita’ di moto p invece della forza F.

Si indica momento della quantita’ di moto il vettore b₀

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\textbf{b}}_0=\overrightarrow{\textbf{r}}\, x \, \overrightarrow{\textbf{p}}}}$ .

Il momento di p rispetto ad un polo e’ un vettore, quindi e’ caratterizzato da un’intensita’, da una direzione e da un verso.

– Intensita’

b₀ = r p sinθ = r m v sinθ

dalla figura vediamo che mvsinθ = mv_n

lo interpretiamo come la proiezione del vettore p lungo la normale

b₀ = r m v_n

– Direzione

E’ normale al piano del vettore r e del vettore p, come da definizione di prodotto vettoriale.

– Verso

Vale sempre la regola della mano destra.

Sappiamo che il prodotto vettoriale puo’ anche essere espresso tramite le componenti dei vettori

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\textbf{r}}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\textbf{p}}=mv_x\hat{i}+mv_y\hat{j}+mv_z\hat{k}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\textbf{b}}_0=\overrightarrow{\textbf{r}}\, x \, \overrightarrow{\textbf{p}}=\begin{vmatrix}\hat{\textbf{i}} & \hat{\textbf{j}} & \hat{\textbf{k}} \\ \textbf{x} & \textbf{y} & \textbf{z} \\ \textbf{mv}_x & \textbf{mv}_y & \textbf{mv}_z\end{vmatrix}}}$ .

Vediamo ora il momento della quantita’ di moto rispetto ad un asse.

Procediamo come per il momento della forza rispetto ad un asse

Proiettiamo il momento della quantita’ di moto rispetto al polo lungo l’asse a ottenendo

$\displaystyle{\mathbf{b_a=\overrightarrow{\textbf{b}}_0\cdot\hat{a}}}$ .

Anche il momento della quantita’ di moto rispetto ad un asse si puo’ calcolare rispetto ad un qualunque punto dell’asse.

Il momento b_a ha un importante significato quando il sistema e’ in rotazione. Partiamo dal caso del singolo punto materiale

il punto Q sta’ percorrendo una circonferenza

nel piano π intorno al polo O

Sappiamo che in un sistema in rotazione

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\textbf{v}}=\overrightarrow{\omega}\, x \, \overrightarrow{\textbf{r}}}}$ .

Da cui ricaviamo

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\textbf{p}}=m\overrightarrow{\omega}\, x\, \overrightarrow{\textbf{r}}}}$

Calcoliamo il momento polare

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\textbf{b}}_0=\overrightarrow{\textbf{r}}\, x \, \overrightarrow{\textbf{p}}=\overrightarrow{\textbf{r}}\, x \, (m\overrightarrow{\omega}\, x\, \overrightarrow{\textbf{r}})}}$ .

Il secondo termine puo’ essere scritto in modo diverso, abbiamo gia’ ricordato questa formula

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\textbf{r}}\, x \, (m\overrightarrow{\omega}\, x\, \overrightarrow{\textbf{r}})=m\overrightarrow{\omega}(\overrightarrow{\textbf{r}}\cdot\overrightarrow{\textbf{r}})-\overrightarrow{\textbf{r}}(m\overrightarrow{\omega}\cdot\overrightarrow{\textbf{r}})}}$ .

Quindi il momento diventa

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\textbf{b}}_0=\overrightarrow{\textbf{r}}\, x \, (m\overrightarrow{\omega}\, x\, \overrightarrow{\textbf{r}})=m\overrightarrow{\omega}(\overrightarrow{\textbf{r}}\cdot\overrightarrow{\textbf{r}})-\overrightarrow{\textbf{r}}(m\overrightarrow{\omega}\cdot\overrightarrow{\textbf{r}})=m\overrightarrow{\omega}(\overrightarrow{\textbf{r}}\cdot\overrightarrow{\textbf{r}})=mr^2\overrightarrow{\omega}}}$ .

Questo risultato viene cosi’ perche’ ω e r sono perpendicolari, quindi il prodotto scalare e’ nullo, inoltre il prodotto scalare di r per se stesso e’ pari a r² visto che il cos0 = 1.

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\textbf{b}}_0=(mr^2)\overrightarrow{\omega}}}$ .

Da questa vediamo che il momento polare tiene la direzione di ω, non solo, sono anche equiversi, ossia hanno anche lo stesso verso (non c’e’ il segno meno dopo l’uguale).

Calcolo del momento assiale

Sappiamo che il momento assiale e’ la proiezione del momento polare lungo l’asse, abbiamo pero’ appena visto che il momento polare sta’ gia’ lungo l’asse, visto che ha la direzione di ω, quindi

$\displaystyle{\mathbf{b_a=\overrightarrow{\textbf{b}}_0\cdot\hat{a}=mr^2\omega}}$ .

Il termine mr² e’ detto momento di inerzia

I_a = mr²

e ci dice quanto la massa e’ distante dal centro di rotazione. Piu’ e distante, maggiore e’ il momento d’inerzia.

b_a = I_aω

b_a e’ proporzionale a ω, quindi piu’ la massa gira velocemente piu’ b_a e’ grande.

Nella prossima lezione cerchiamo una relazione tra il momento della forza e il momento della quantita’ di moto.

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Momento della quantita’ di moto

Prossima lezione Relazione tra i momenti di F e di p