Energia potenziale

Vediamo ora un altro tipo di energia, questa volta legata alla posizione e non alla velocità, ossia l’energia potenziale.

Consideriamo una massa M che si sposta dalla posizione A di coodinate( x_A , y_A , z_A ) alla posizione B di coordinate ( x_B , y_B , z_B )

Se la forza e’ conservativa non ci interessa il particolare percorso seguito per andare da A a B. Questo vuol dire che l’integrale dipende soltanto dalla posizione iniziale e da quella finale. Introduciamo allora una funzione di queste due posizioni A e B tale che risulti :

$\displaystyle{\mathbf{L_{A,B}=\int_{A}^{B}\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{S}=U(x_A , y_A , z_A)-U(x_B , y_B , z_B)}}$ .

La funzione U, che e’ l’integrale della forza, e’ detta energia potenziale. Notate che e’ stato posto U nel punto A meno U nel punto B, bisognerebbe porre, nella soluzione dell’integrale

$\displaystyle{\mathbf{\left [U\right ]_A^B=U_B-U_A}}$ .

e’ stato scelto, per convenzione, di porre il contrario, U viene prima calcolata nel punto A e poi nel punto B, quindi

U( x_A , y_A , z_A ) – U( x_B , y_B , z_B ) = – ΔU

L_A,B = – ΔU

L’energia potenziale U e’ una funzione che dipende soltanto dalla posizione, non dipende da altre grandezze come velocita’ o accelerazione. C’e’ perche’ il corpo si trova in un punto dello spazio. Un corpo, solo per il fatto di trovarsi in un punto dello spazio, possiede un’energia potenziale U. Attenzione al fatto che L, il lavoro, non vuol dire energia potenziale, ma differenza di energia potenziale ΔU.

Energia potenziale per la forza peso

Sappiamo che la forza peso P e’ una forza conservativa, quindi possiamo introdurre per essa un’energia potenziale

Il lavoro elementare compiuto da P lo possiamo esprimere tramite le componenti

$\displaystyle{\mathbf{dL=\overrightarrow{P}\cdot d\overrightarrow{S}=P_xd_x+P_yd_y+P_zd_z}}$ .

Lo abbiamo visto qualche lezione fa.

La forza peso P ha pero’ la sola componente verticale perche’ e diretta verso il basso, quindi ha la sola componente P_z . Allora

$\displaystyle{\mathbf{dL=\overrightarrow{P}\cdot d\overrightarrow{S}=-mgd_z}}$ .

Ricordate che P e’ diretta nel verso contrario all’asse z, e’ sempre diretta verso il basso.

Per avere il lavoro da A a B dobbiamo integrare

$\displaystyle{\mathbf{L_{A,B}=\int_{A}^{B}dL=\int_{z_A}^{z_B}-mg\,dz=-mg\int_{z_A}^{z_B}dz=-mg(z_B-z_A)=mg(z_A-z_B)}}$ .

A questo punto ci ricordiamo che la forza peso e’ conservativa e quindi che per essa possiamo introdurre una funzione energia potenziale che, con la differenza dei suoi valori tra la posizione iniziale e quella finale, ci da’ proprio il lavoro

L = – ΔU

L_A,B = mgz_A – mgz_B = U_A – U_B

Quindi U = mgz U e’ un’energia legata alla posizione.

Dobbiamo ora notare una cosa importante

U_B – U_A = ΔU ⇒ U_B = ΔU + U_A non possiamo assegnare un valore a U_B finche’non lo assegniamo a U_A. Possiamo dare un significato a U_B scegliendo il punto A in una opportuna posizione di riferimento e assegnare un valore arbitrario quando il corpo si trova in quella posizione. All’energia potenziale di tale punto viene attribuito solitamente il valore zero.

Abbiamo definito il lavoro, nel caso di forze conservative, come la differenza di una funzione U detta energia potenziale. Allora se a U sommo una costante, ho U + cost. per quanto riguarda il lavoro non mi cambia nulla perche’ il lavoro e’ la differenza delle U

L_A,B = U_A + cost – (U_B + cost) = U_A – U_B

e il lavoro resta comunque determinato, mentre il valore assoluto di U in un punto no. U e’ nota a meno di una costante. Questa costante la scegliamo arbitrariamente.

La scelta di una costante corrisponde alla scelta di un punto di riferimento. Il lavoro compiuto dalla forza F per spostare un corpo dal punto P al punto P_rif di riferimanto e’

$\displaystyle{\mathbf{L_{P,P_{rif}}=\int_{P}^{P_{rif}}\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{S}=U_P-U_{P_{rif}}}}$ .

Il P_rif che scegliamo e’ quello in cui il valore del potenziale e’ nullo. In questo punto l’energia potenziale e’ nulla.

L_{P,Prif =}U_P

Nel caso specifico della forza peso si sceglie il punto di riferimento al livello del mare, a quota zero. Questo vuol dire che quando un corpo arriva a livello del mare ha U = 0. Per calcolare il lavoro per passare da un punto qualunque di coordinate x, y, z al punto di riferimento a quota zero dobbiamo porre

$\displaystyle{\mathbf{U(x,y,z)=L_{P,P{rif}}=-mg\int_{z}^{z_{rif}}dz=mgz-mgz_{rif}= mgz}}$ .

– Superfici equipotenziali

Sono i luoghi geometrici dove l’energia potenziale e’ costante. Nel caso della forza peso sono i luoghi dove z, la quota, e’ costante

Sono i luoghi dove z e’ costante. Sono piani a livello z e sono tutti i punti che hanno lo stesso valore di U. Se la nostra massa M passa da una superficie equipotenziale con valore di energia potenziale 4 j ad una con valore 1 j , il lavoro compiuto dalla forza e’ semplicemente

L = U_A – U_B = 3 j

Se ci spostiamo da un punto ad un altro di una stessa superficie equipotenziale il lavoro e’ pari a zero, anche se il percorso seguito e’ quello della figura sottostante

Se si fosse mossa in orizzontale e’ facile capire che L = 0 perche’ P e ΔS sono perpendicolari, quindi il loro prodotto scalare e’ nullo. Vedendo la curva disegnata in figura, in effetti c’e’ un lavoro L > 0 a scendere e un lavoro L < 0 per salire, ma il totale e’ zero L_tot = 0. Il lavoro c’e’ stato ma risulta compensato.

Se ora solleviamo la massa dalla superficie 1 j a quella 3 j il lavoro risulta L = U_A – U_B = 1 – 3 = – 2 , L < 0. Infatti non e’ la forza peso P che solleva la massa, c’e’ un’altra forza che agisce contro P.

Quindi :

nel campo di forze di gravita’ i piani orizzontali sono quelli per cui U = cost e vengono chiamati superfici equipotenziali. La direzione delle forze in ogni punto di un piano equipotenziale e’ normale ad esso. Questo vale anche nel caso degli altri campi di forze conservative, si possono sempre considerare superfici equipotenziali. Per ogni punto passa una sola superficie equipotenziale. Il lavoro delle forze del campo e’ nullo se le posizioni iniziale e finale sono sulla stessa superficie equipotenziale.

Per ogni punto passano una superficie equipotenziale e una linea di forza, eccetto sorgenti e pozzi. La linea di forza e’ normale alla superficie equipotenziale perche’ lungo essa dU = 0 quindi dL = 0 quindi e’ uguale a zero il prodotto scalare tra forza e spostamento, cioe’ la forza e’ normale alla superficie equipotenziale.

Il nostro studio prosegue con l’energia potenziale della forza elastica e della forza gravitazionale.

I like physics

Energia potenziale

Prossima lezione Energia della forza elastica e gravitazionale