Grave lungo un pendio

Vediamo un tipico esercizio sulla conservazione dell’energia meccanica.

Un grave viene lasciato cadere da una quota h, punto 1. Alla fine del pendio ha acquistato la velocita’ V₂ . In seguito urta contro un piattello di massa trascurabile, collegato ad una molla che viene quindi compressa di ΔL. Nel punto 3 la massa si ferma. Vogliamo trovare la velocita’ al punto 2 , V₂ e di quanto si e’ compressa la molla, il ΔL.

Dato che non si tratta di un piano inclinato, ma di un pendio, possiamo soltanto fare considerazioni di tipo energetico. Analizziamo separatamente i punti 1, 2 e 3 (fortunatamente, per ora, non ci sono attriti).

Punto 1

Inizialmente il grave e’ fermo in questo punto, la sua energia meccanica e’

$\displaystyle{\mathbf{E_{m1}=U_1^P+U_1^{el}+E_{C1}=U_1^P=mgh}}$ .

Nell’energia meccanica abbiamo messo le enegie di tutte le forze, quella elastica non e’ ancora in gioco, ma consideriamola lo stesso. La E_C1 e’ nulla perche’ la massa e’ ferma, l’energia e’ tutta potenziale e pari a m g h

E_m1 = m g h dato che siamo in presenza di forze conservative, questa energia si deve conservare, ossia deve rimanere sempre la stessa in valore.

Punto 2

$\displaystyle{\mathbf{E_{m2}=U_2^P+U_2^{el}+E_{C2}}}$ .

L’energia potenziale al punto 2 e’ nulla perche’ siamo a quota zero. L’energia potenziale della forza elastica non c’e’ perche’ la molla e’ ancora a riposo. C’e’ soltanto l’energia cinetica dovuta alla velocita’ acquistata dalla massa

$\displaystyle{\mathbf{E_{C2}=\frac{1}{2}\,mV_2^2}}$ .

Quindi

$\displaystyle{\mathbf{E_{m2}=\frac{1}{2}\,mV_2^2}}$ .

Punto 3

$\displaystyle{\mathbf{E_{m3}=U_3^P+U_3^{el}+E_{C3}=U_3^{el}=\frac{1}{2}\,k\Delta L^2}}$ .

Nel punto 3 l’energia potenziale e’ nulla perche’ siamo a quota zero, l’energia cinetica e’ nulla perche’ la massa e’ stata fermata dalla molla. C’e’ solo l’energia potenziale della molla compressa.

Dato che l’energia meccanica si deve conservare

E_m2 = E_m1 da cui

$\displaystyle{\mathbf{\frac{1}{2}\,mV_2^2=mgh}}$ .

Da questa ci ricaviamo la velocita’ al punto 2

$\displaystyle{\mathbf{V_2=\sqrt{2gh}}}$ .

Per ricavarci il ΔL applichiamo di nuovo la conservazione dell’energia meccanica

E_m3 = E_m1

$\displaystyle{\mathbf{\frac{1}{2}\,k\Delta L^2=mgh\Longrightarrow \Delta L=\sqrt{\frac{2mgh}{k}}}}$ .

Nel prossimo esempio vediamo un altro caso tipico di esercizio sulla conservazione dell’energia meccanica, quello chiamato il giro della morte.

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Grave lungo un pendio

Prossima lezione esempio Giro della morte