Momento di inerzia

Consideriamo un corpo rigido che ruota attorno ad un asse. Il momento di inerzia del corpo rispetto all’asse descrive quanto e’ difficile cambiare il moto angolare del corpo intorno a quell’asse. Per capirci, se abbiamo due dischi A e B di uguale massa, con il disco A di raggio maggiore del disco B, assumendo che entrambi abbiano spessore e massa uniformi, risulta piu’ difficile accelerare il disco A (cambiare la sua velocita’ angolare) perche’ la sua massa e’ piu’ lontana dal suo asse di rotazione. La massa piu’ distante, fissato ω, deve avere una velocita’ maggiore, quindi un’energia maggiore rispetto alla massa che e’ piu’ vicina all’asse di ritazione.

Per un sistema di masse sappiamo che

$\displaystyle{\mathbf{I_a=\sum_{j=1}^n m_jr_j^2}}$ .

Se il sistema e’ continuo, non possiamo fare la sommatoria dei momenti delle singole massette, ma dobbiamo considerare che m_j non e’ la massa j-esima, ma una massa infinitesima dm. La relazione sara’ allora

$\displaystyle{\mathbf{I_a=\int_M r^2\, dm}}$ .

Dobbiamo fare l’integrale esteso a tutta la massa. Nell’integrale r e’ la distanza di dm dall’asse di rotazione.

In pratica il calcolo va fatto di volta in volta, dipende dal corpo.

Vediamo il calcolo del momento di inerzia per i casi piu’ importanti.

Barra omogenea

Calcolo del momento di inerzia rispetto al suo centro

$\displaystyle{\mathbf{I_c=\int r^2\, dm}}$ .

Per una barra omogenea la densita’ e’ data da

$\displaystyle{\mathbf{\lambda=\frac{dm}{dl}\hspace{0,3cm}\Longrightarrow dm=\lambda dl}}$ .

In questo caso possiamo porre

dm = λ dx visto che siamo lungo l’asse x

Il momento d’inerzia rispetto al centro C possiamo esprimerlo

$\displaystyle{\mathbf{I_c=\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}\lambda x^2\, dx=\lambda\,\left [\frac{x^3}{3}\right ]_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}=\lambda\frac{L^3}{12}}}$ .

Dato che la barra e’ omogenea m = λ L

$\displaystyle{\mathbf{I_c=\frac{1}{12}\, mL^2}}$ .

Vediamo come cambia il momento di inerzia se la barra ruota attorno ad un suo estremo invece che attorno al centro di massa.

Le coordinate sono cambiate perche’ la distanza si calcola dal punto di rotazione. Verranno a variare gli estremi di integrazione.

$\displaystyle{\mathbf{I_a=\int_{0}^{L}\lambda x^2\, dx=\lambda\, \left [\frac{x^3}{3}\right ]_0^L=\lambda\,\frac{L^3}{3}=\frac{1}{3}mL^2}}$ .

Ogni volta che cambiamo l’asse di rotazione dobbiamo ricalcolare il momento di inerzia ? Fortunatamente no, il teorema di Huyghens e Steiner ci viene in aiuto. Una volta calcolato il momento di inerzia rispetto al centro di massa, per ricalcolarlo rispetto ad un altro asse basta porre

I_a = I_c + M_tot (AC)²

AC e’ la distanza di A dal centro di massa. Da questa relazione notiamo che il momento di inerzia minimo e’ quello del centro di massa. Per assi decentrati occorre aggiungere qualche cosa di positivo.

Applichiamo questo teorema per il caso precedente

$\displaystyle{\mathbf{I_a=I_c+m\left (\frac{L}{2}\right )^2=\frac{1}{12}mL^2+m\frac{L^2}{4}=\frac{1}{3}mL^2}}$ .

Anello

$\displaystyle{\mathbf{I_a=\int R^2\, dm}}$ .

Lo calcoliamo rispetto ad un asse passante per il suo centro, perpendicolare al piano dell’anello

$\displaystyle{\mathbf{\lambda=\frac{dm}{dr}\; \longrightarrow\; dm=\lambda dr\;\; ma\;dr=Rd\alpha\;\longrightarrow\;dm=\lambda Rd\alpha}}$ .

Sostituiamo a dm l’espressione trovata

$\displaystyle{\mathbf{I_a=\int_{0}^{2\pi}R^2\,\lambda\, R\, d\alpha=\lambda\, R^3\int_{0}^{2\pi}\, d\alpha=\lambda\, R^32\pi=\underbrace{2\pi\, \lambda\, R}_{m totale}\, R^2=mR^2}}$ .

Disco piano

$\displaystyle{\mathbf{I_a=\int R^2\, dm}}$ .

Procedendo analogamente a prima, ricaviamo dm dalla densita’, questa volta superficiale

$\displaystyle{\mathbf{\sigma=\frac{dm}{dS}\;\longrightarrow\; dm=\sigma dS=\sigma\, 2\pi rdr}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{I_a=\int_{0}^{R}r^22\pi \,\sigma r\, dr=2\pi\, \sigma\int_{0}^{R}r^3\, dr=2\pi \, \sigma\,\frac{R^4}{4}=\underbrace{\pi\,\sigma\,R^2}_{m}\,\frac{R^2}{2}=\frac{1}{2}mR^2}}$ .

Cilindro cavo

Calcolo rispetto al suo asse

dm = ρ dV

dV = 2πrdrL

dm = 2πL ρrdr

$\displaystyle{\mathbf{I_a=\int r^2\, dm=\int_{R_1}^{R_2}2\pi L\rho r\, r^2\, dr=2\pi L\rho\int_{R_1}^{R_2}r^3\, dr=2\pi L\, \rho\, \left [\frac{r^4}{4}\right ]_{R_1}^{R_2}=2\pi L\,\rho\,\frac{R_2^4-R_1^4}{4}=\frac{1}{2}\,\pi L\,\rho(R_2^2-R_1^2)(R_2^2+R_1^2)}}$ .