Resistenza del mezzo – Forze viscose

Chiamate anche resistenze passive, sono forze che si presentano durante il moto dei corpi e sono sempre dirette in verso contrario al moto. Un esempio, che abbiamo gia’ visto, e’ la resistenza di attrito dinamico. Queste resistenze si presentano anche nel moto di un corpo in un fluido, infatti per avanzare all’interno di un fluido, il corpo deve spostare le particelle del mezzo, la resistenza del mezzo e’ la forza che rappresenta la reazione del mezzo all’avanzata del corpo.

La forza di attrito dinamico e’ sempre contraria alla velocita’

A_d ha sempre lo stesso valore, qualunque sia la velocita’, essa e’ legata al contatto e non alla velocita’.

Ora studiamo una forza di resistenza al moto dovuta al semplice fatto che non ci troviamo nel vuoto. Noi ci muoviamo nell’aria che e’ fatta di molecole, una miscela di gas. Muovendoci urtiamo queste molecole le quali danno un effetto frenante.

R_v schematizza la resistenza del mezzo, anche questa e’ una reazione alla velocita’ che pero’, contrariamente ad A_d, dipende dalla velocita’.

Questa dipendenza viene espressa dall’equazione

R_v = bV + cV² + dV³ + …

Per basse velocita’ prevale il termine lineare e gli altri risultano trascurabili, per velocita’ elevate il termine che prevale e’ V². Se e’ il termine lineare a prevalere la relazione diventa:

R_v = bV questo e’ il valore di R_v , il suo modulo.

R_ve’ sempre opposta alla velocita’

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{R}_v=-b\overrightarrow{v}}}$ .

La reazione e’ opposta alla velocita’, b e’ un coefficiente la cui misura si ricava facilmente dall’ultima formula N s / m. Vista cosi’ sembra una relazione semplice, in realta’ il calcolo di b risulta molto complesso, esso dipende fortemente dalla forma dell’oggetto che si sta’ muovendo. Per dare un esempio esplicativo diremo che la forma del paracadute da’ un valore di b grande, mentre la forma di un alettone lo da’ piccolo.

Per corpi di forma sferica, di raggio r esiste la legge di Stokes che ci da’ il valore di b:

b = 6 π r η dove η e’ la viscosita’ del mezzo e tiene conto del tipo di mezzo nel quale si muove l’oggetto, piu’ il mezzo e’ viscoso e piu’ b e’ grande. Affronteremo piu’ avanti la viscosita’.

Vediamo degli esempi pratici

Consideriamo un corpo che cade, prima in assenza di resistenze, poi le aggiungiamo e vediamo la differenza

Applichiamo il secondo principio

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{P}=m\overrightarrow{a}}}$ .

Lo proiettiamo lungo l’asse Y

P = m a_y ⇒ m g = m a_y ⇒ a_y = g il corpo cade con accelerazione costante g

Per avere la velocita’ integriamo

V(t) = g t + V₀ riportiamo graficamente V in funzione del tempo

Dal grafico della velocita’ si vede che se t → ∞ anche V

tende ad un valore infinito.

E’ chiaro allora che questo e’ un caso ideale

Introduciamo la resistenza del mezzo e vediamo che le cose cambiano notevolmente

Ora e’ presente R_v che tende a diminuire l’azione di P forza peso

Come al solito applichiamo il secondo principio della dinamica

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{P}+\overrightarrow{R}_v=m\overrightarrow{a}}}$ .

Proiettiamo l’equazione vettoriale lungo l’asse Y

P – R_v = m a_y ⇒ m g – b V_y = m a_y attenzione: a_y non e’ costante, ma viene variata dal termine -bV_y inoltre a_y e V_y sono legate tra di loro perche’ a_y e’ la derivata di V_y . L’equazione allora diventa:

$\displaystyle{\mathbf{mg-bv_y=m\frac{dv_y}{dt}}}$ .

Con una accomodatina diventa:

$\displaystyle{\mathbf{\frac{dv_y}{dt}+\frac{b}{m}\hspace{0,1cm}v_y=g}}$ .

E’ un’equazione differenziale in V_y , lineare, del primo ordine, non omogenea. Sappiamo gia, per averla affrontata nelle lezioni precedenti, che la sua soluzione e’ formata da due parti di cui una e’ quella dell’equazione omogenea associata e l’altra e’ l’integrale particolare.

V = V_omo + V_part

Iniziamo dall’integrale particolare. Dato che g e’ costante possiamo supporre che anche V_part sia costante, allora

$\displaystyle{\mathbf{\frac{dv_{part}}{dt}+\frac{b}{m}\hspace{0,1cm}v_{part}=g\Longrightarrow 0+\frac{b}{m}\hspace{0,1cm}v_{part}=g\Longrightarrow v_{part}=\frac{mg}{b}}}$ .

Passiamo ora alla V_omo , questa la troviamo dall’equazione omogenea associata

$\displaystyle{\mathbf{\frac{dv_y}{dt}+\frac{b}{m}\hspace{0,1cm}v_y=0}}$ .

Sappiamo che la soluzione e’ del tipo

$\displaystyle{\mathbf{v_{omo}=Ae^{\alpha t}}}$ .

Prendiamo l’equazione caratteristica associata

$\displaystyle{\mathbf{\alpha + \frac{b}{m}=0\Longrightarrow \alpha=-\frac{b}{m}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{Allora\hspace{0,2cm}v_{omo}=Ae^{-\frac{b}{m}\hspace{0,1cm}t}}}$ .

La soluzione totale e’ :

$\displaystyle{\mathbf{v=v_{omo}+v_{part}=Ae^{-\frac{b}{m}\hspace{0,1cm}t}+\frac{mg}{b}}}$ .

Rimane da trovare A. Per far questo ci serviamo della V₀. Sappiamo che all’istante iniziale V = V₀, questo lo sostituiamo nella soluzione trovata

$\displaystyle{\mathbf{v(0)=Ae^{-\frac{b}{m}0}+\frac{mg}{b}=v_0\Longrightarrow A+\frac{mg}{b}=v_0\Longrightarrow A=v_0-\frac{mg}{b}}}$ .

Questa la mettiamo nella soluzione dell’equazione differenziale

$\displaystyle{\mathbf{v_y(t)=\left (v_0-\frac{mg}{b}\right )e^{-\frac{b}{m}t}+\frac{mg}{b}}}$

mg / b : questo termine viene chiamato velocita’ limite V_lim

m / b : questo termine e’ detto tempo caratteristico τ

Con queste posizioni V_y(t) diventa

$\displaystyle{\mathbf{v_y(t)=(v_0-v_{lim})e^{-\frac{t}{\tau}}+v_{lim}}}$ .

Grafichiamo quanto trovato

Dopo un tempo t = τ il regime e’ asintotico

Per t → ∞ l’esponenziale tende a zero e V_y(t) → V_lim

Quando siamo alla V_lim le due forze P e Rv si equilibrano, infatti in assenza di forze la velocita’ e’ costante. Qualunque sia la velocita’ di partenza, si arriva sempre a V_lim , ossia ad un moto rettilineo uniforme, anche se partiamo con una velocita’ > di V_lim

La differenza con il caso ideale e’ piuttosto grande.

Tiriamo un bel respiro, cambiamo pagina e vediamo un altro modo per risolvere l’equazione con il quale pero’ avremmo perso un po’ il significato fisico di quanto visto. Vedremo anche un esempio applicativo.

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