Potenziale di un filo rettilineo infinito

Studiamo il potenziale di un filo rettilineo infinito uniformemente carico con densità lineare di carica +λ.

Questo è il nostro filo infinitamente lungo sul quale è presente una densità lineare di carica +λ uniforme.

Abbiamo già calcolato il campo elettrico E da esso generato, sia applicando il teorema di Gauss ( Filo carico di lunghezza infinita ) sia con lo studio diretto ( Filo rettilineo carico ).

$\displaystyle{\mathbf{E=\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_o \, r}}}$

Come al solito, per calcolare il potenziale, una volta scelto il punto P, dobbiamo prendere un riferimento, oppure un punto dove il potenziale ci è noto.

Come scegliamo il riferimento per il potenziale ?.

Non lo possiamo prendere all’infinito e non lo conosciamo da nessuna parte.

Il riferimento all’infinito va bene per quelle distribuzioni in cui le cariche si trovano al finito. Il nostro filo è infinitamente lungo e le cariche stanno anche all’infinito.

Scegliamo allora il punto di riferimento P_rif in un qualunque punto, basta che non sia all’infinito. In questo punto, per noi, il potenziale è nullo, V = 0.

_{A questo punto, per avere il potenziale nel punto P, basta fare l’integrale del campo elettrico lungo un percorso che va da P a P}_rif . Questo percorso lo prendiamo parallelo al campo elettrico in modo da semplificarci i calcoli (niente vettori).

$\displaystyle{\mathbf{V(P)=\int_r^{r_{rif}}E\, dr}}$

Sostituiamo al campo elettrico E la sua espressione scritta prima

$\displaystyle{\mathbf{V(P)=\int_r^{r_{rif}}\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_o\, r}\, dr}}$

Portiamo fuori dall’integrale quello che è costante

$\displaystyle{\mathbf{V(P)=\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_o}\int_r^{r_{rif}}\frac{dr}{r}=\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_o}\ln\frac{r_{rif}}{r}}}$

Ci rimane da vedere la dipendenza del potenziale V dalla distanza r dal filo. Per farlo ci conviene girare l’argomento del logaritmo mettendo, però un segno meno davanti.

$\displaystyle{\mathbf{V(P)=-\,\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_o}\ln\frac{r}{r_{rif}}}}$

L’andamento è di tipo logaritmico, però rovesciato per la presenza del segno meno.

Il potenziale è nullo per r = r_rif , infatti in questo punto il logaritmo diventa ln(1) = 0.