Vettori (Per il liceo)

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I vettori sono enti geometrici che dovete conoscere bene perchè in fisica ne incontrerete svariati, ad esempio lo spostamento, la velocità, le forze, … Dovete essere in grado di compiere operazioni con i vettori come la somma, il prodotto, …

Cerchiamo innanzi tutto la differenza tra grandezze scalari e grandezze vettoriali.

Se diciamo che nella stanza ci sono 25°C di temperatura, non dobbiamo specificare altro, abbiamo definito la temperatura della stanza. Ecco, questa è una grandezza scalare, ossia una grandezza che per essere specificata ha bisogno solo di un valore numerico. Stessa cosa vale per un volume, basta dire il numero di metri cubi.

Esistono invece grandezze alle quali il valore numerico non basta. Se parliamo di uno spostamento, dire che ci siamo spostati di un metro, non lo definisce completamente perchè il nostro spostamento può avvenire in una qualsiasi direzione e in uno dei due versi. Questa è una grandezza vettoriale.

Una grandezza vettoriale ha un valore numerico detto intensità o modulo, una direzione, ossia la retta su cui giace ed un verso. Nella figura è tutto più chiaro

Il modulo è la lunghezza del vettore, la direzione è quella della retta, il verso è quello indicato dalla freccia.

Abbiamo allora capito che per rappresentare una grandezza vettoriale dobbiamo usare i vettori, ossia quelle entità che portano con se tre informazioni : Modulo, direzione e verso. C’è un’altra cosa importante in un vettore ed è il suo punto di applicazione, esso è il punto dove inizia il vettore.

Esempi di vettori

Vettori con modulo e direzioni uguali, ma versi opposti

Vettori con direzione e verso uguali, ma moduli diversi

Vettori con modulo, direzione e verso non uguali

ATTENZIONE : due vettori per essere uguali devono avere stesso modulo, stessa direzione e stesso verso.

Operazioni con i vettori

Somma di vettori

Consideriamo due vettori

$\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{a}}\quad\overrightarrow{\mathbf{b}}}$

vogliamo eseguirne la somma. Distinguiamo tre casi:

Caso 1)

I due vettori hanno stessa direzione e stesso verso

Il vettore somma c ha la stessa direzione e lo stesso verso di a e b e modulo uguale alla somma dei moduli.

Caso 2)

I due vettori hanno stessa direzione ma verso opposto.

Il vettore somma ha la direzione di a e di b, il verso del vettore di lunghezza maggiore e modulo pari alla differenza dei moduli.

Caso 3)

I due vettori hanno direzioni diverse. In questo caso possiamo operare in due modi che, ovviamente, portano allo stesso risultato.

Modo 1 (Punta-coda)

Portiamo la coda di a a coincidere con la punta di b

Il vettore somma è dato dal segmento che unisce la cosa di b con la punta di a (chiusura del triangolo).

Modo 2 (Metodo del parallelogramma)

Portiamo i due vettori nello stesso punto di origine

Costruiamo il parallelogramma di lati a e b il vettore somma è dato dalla diagonale maggiore del parallelogramma.

Quando facciamo la somma di vettori il vettore somma è detto risultante.

Se dobbiamo fare la somma di più vettori v = a + b + c + ….. possiamo sommare i primi due, il vettore risultante ottenuto lo sommiamo al terzo e così via. Graficamente riportiamo i vettori uno di seguito all’altro e poi chiudiamo il poligono.

Differenza di vettori

Dati due vettori a e b invece di fare la differenza a – b, giriamo il vettore b ottenendo il vettore opposto -b e facciamo la somma a + (-b). Dalla figura è tutto più chiaro.

Prodotto di un vettore per uno scalare

Consideriamo un vettore a ed un numero k, il prodotto di k per a è un vettore che chiamiamo ad esempio v

$\mathsf{\overrightarrow{\mathbf{v}}=k\overrightarrow{\mathbf{b}}}$

Se k>0 v ha la stessa direzione e verso di a e modulo uguale al prodotto di k per il modulo di a.

Se k<0 v ha la stessa direzione di a ma verso opposto ed il suo modulo è uguale al prodotto del valore assoluto di k moltiplicato per il modulo di a.

Scomposizione di un vettore

Vogliamo scomporre un vettore v secondo due direzioni.

Come direzioni prendiamo quelle degli assi cartesiani x e y. Poniamo il punto di applicazione del vettore nell’origine degli assi.

Le coordinate cartesiane v_x e v_y della punta del vettore sono dette componenti cartesiane del vettore v. In particolare:

v_x è la componente del vettore v lungo l’asse x

v_y è la componente del vettore v lungo l’asse y

Utilizzando la trigonometria possiamo porre

v_x = v cosα

v_y = v senα

dove v è il modulo del vettore v e α è l’angolo che il vettore v forma con l’asse delle ascisse.

Note le componenti v_x e v_y possiamo esprimere il modulo del vettore v semplicemente applicando il teorema di Pitagora al triangolo

$\mathbf{v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}}$

Se utilizziamo i versori fondamentali degli assi, ossia i vettori di lunghezza unitaria i e j che forniscono le direzioni x e y degli assi

possiamo esprimere il vettore come

$\mathbf{\overrightarrow{v}=v_x\hat{i}+v_y\hat{j}}$

Vediamo un esempio di come calcolare la somma di due vettori tramite le loro componenti. Prendiamo due vettori a e b

Scomponiamo i due vettori secondo le direzioni x e y, per mostrarlo meglio useremo due piani cartesiani, uno per ogni vettore

Ora sommiamo le componenti lungo x, ossia a_x e b_x , e quelle lungo y, ossia a_y e b_y

Se indichiamo con v il vettore somma e con v_x e v_y le sue componenti, avremo:

v_x = a_x + b_x

v_y = a_y + b_y

Per ottenere il modulo del vettore v basta applicare Pitagora al triangolo rettangolo ottenuto.

$\mathbf{v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}}$

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