Potenziale elettrostatico

Vogliamo ora introdurre una nuova grandezza, il potenziale elettrostatico.

Consideriamo una regione dello spazio dove è presente un campo elettrico E

Prendiamo una carica q e la poniamo in un punto A(x_A ,y_A, z_A) del campo. Sappiamo che subito nasce una forza elettrica

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{F}}=q \overrightarrow{\mathbf{E}}}}$

che tende a spostare la carica q.

Supponiamo che la carica q si sposta dal punto A(x_A, y_A, z_A), al punto B(x_B, y_B, z_B) percorrendo una traiettoria che indichiamo con γ.

Sappiamo che il lavoro compiuto dalla forza elettrica F_E per spostare la carica q dal punto A al punto B è dato da :

$\displaystyle{\mathbf{L_{A,B}=\int_A^B\overrightarrow{\mathbf{F}}_E\cdot d\overrightarrow{\mathbf{s}}}}$

La forza elettrica è diretta lungo la linea di forza del campo, mentre lo spostamento ds è lungo la curva γ.

Dato che la forza elettrica è una forza conservativa, l’integrale non dipende dalla curva γ, ossia dal particolare percorso scelto per andare da A a B.

Sostituiamo alla forza elettrica la sua espressione

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{F}}_E=q\overrightarrow{\mathbf{E}}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{L_{A,B}=q\,\int_A^B\overrightarrow{\mathbf{E}}\cdot d\overrightarrow{\mathbf{s}}}}$

Se il lavoro non dipende dal percorso, vuol dire che dipende soltanto dal punto iniziale A e da quello finale B. Come già visto in meccanica quando abbiamo introdotto l’energia potenziale , in tal caso possiamo definire una funzione, detta appunto energia potenziale e porre

$\displaystyle{\mathbf{L_{A,B}=q\,\int_A^B\overrightarrow{\mathbf{E}}\cdot d\overrightarrow{\mathbf{s}}=U(A)-U(B)}}$

Il lavoro è dato dai valori che assume la funzione U nei punti A e B, o meglio, dalla loro differenza. Il lavoro compiuto dalla forza elettrica è visto come differenza di energia potenziale.

Quando abbiamo definito il campo elettrico lo abbiamo fatto ponendo

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{E}}=\frac{\overrightarrow{\mathbf{F}}_E}{q}}}$

Ossia il campo elettrico risulta svincolato dalla carica di prova, esso è una caratteristica della sorgente e non dipende da q.

Anche ora dividiamo tutto per q

$\displaystyle{\mathbf{\frac{L_{A,B}}{q}=\int_A^B\overrightarrow{\mathbf{E}}\cdot d\overrightarrow{\mathbf{s}}=\frac{U(A)}{q}\, -\,\frac{U(B)}{q}}}$

Definiamo potenziale elettrostatico V il rapporto

$\displaystyle{\mathbf{V=\frac{U}{q}}}$

Il potenziale si misura in Volt (V)

Con questa posizione si ha

$\displaystyle{\mathbf{\frac{L_{A,B}}{q}=V(A)\, -\, V(B)}}$

Quindi

$\displaystyle{\mathbf{U(A)\, -\, U(B)=\int_A^B\overrightarrow{\mathbf{F}}_E\cdot d\overrightarrow{\mathbf{s}}}}$

Dividendo per la carica q

$\displaystyle{\mathbf{V(A)\, -\, V(B)=\int_A^B\overrightarrow{\mathbf{E}}\cdot d\overrightarrow{\mathbf{s}}}}$

Abbiamo detto che la forza elettrica è conservativa, sappiamo che tali forze godono della proprietà

$\displaystyle{\mathbf{\oint\overrightarrow{\mathbf{F}}_E\cdot d\overrightarrow{\mathbf{s}}=0}}$

La stessa proprietà vale anche per i campi conservativi

$\displaystyle{\mathbf{\oint\overrightarrow{\mathbf{E}}\cdot d\overrightarrow{\mathbf{s}}=0}}$

La circuitazione di E lungo una qualsiasi linea chiusa è nulla.

Torniamo alla relazione

$\displaystyle{\mathbf{U(A)\, -\, U(B)=\int_A^B\overrightarrow{\mathbf{F}}_E\cdot d\overrightarrow{\mathbf{s}}}}$

riscriviamola in termini differenziali

$\displaystyle{\mathbf{-\, dU=\overrightarrow{\mathbf{F}}_E\cdot d\overrightarrow{\mathbf{s}}}}$

Il segno meno deriva dal fatto che abbiamo U(A)-U(B) e non viceversa.

Che possiamo anche scrivere come

$\displaystyle{\mathbf{-\, dU=F_x dx+F_y dy+F_z dz}}$

Se consideriamo y e z costanti (dy=0 e dz=0) otteniamo

$\displaystyle{\mathbf{-\, dU=F_x dx}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{F_x=\frac{dU}{dx}}}$

F_x è la derivata parziale di U cambiata di segno.

Possiamo allora scrivere, per analogia

$\displaystyle{\mathbf{F_x=-\,\frac{\partial U}{\partial x}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{F_y=-\,\frac{\partial U}{\partial y}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{F_z=-\,\frac{\partial U}{\partial z}}}$

Per ricostruire il vettore F dobbiamo porre

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{F}}=F_x\, \hat{i}+F_y\,\hat{j}+F_z\,\hat{k}}}$

Ossia, per quanto scritto prima

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{F}}=-\,\frac{\partial U}{\partial x}\,\hat{i}-\,\frac{\partial U}{\partial y}\,\hat{j}-\,\frac{\partial U}{\partial z}\,\hat{k}}}$

Mettiamo in evidenza U. Attenzione, la dobbiamo mettere in evidenza a destra perchè U va derivata.

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{F}}=-\,\Biggl (\frac{\partial }{\partial x}\,\hat{i}+\,\frac{\partial }{\partial y}\,\hat{j}+\,\frac{\partial }{\partial z}\,\hat{k}\Biggr )\, U}}$

Quello tra parentesi tonde è l’operatore nabla ∇

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{F}}=-\,\nabla U=-\, gradU}}$

L’operatore ∇ applicato ad uno scalare è il gradiente.

Piccola parentesi. Il gradiente di una funzione scalare, nel nostro caso U(x,y,z), continua e differenziabile è il vettore

$\displaystyle{\mathbf{grad U=\nabla U=\hat{i}\,\Biggl (\frac{\partial U}{\partial x}\Biggr )+\hat{j}\,\Biggl (\frac{\partial U}{\partial y}\Biggr )+\hat{k}\,\Biggl (\frac{\partial U}{\partial z}\Biggr )}}$

Chiusa parentesi.

Per quanto riguarda il potenziale elettrostatico possiamo trovare espressioni analoghe a quelle viste ora per l’energia potenziale. Vediamo tutto in uno specchietto semplificativo.

Energia potenziale

$\displaystyle{\mathbf{U(A)\, -\, U(B)=\int_A^B\overrightarrow{\mathbf{F}}_E\cdot d\overrightarrow{\mathbf{s}}}}$

Potenziale elettrostatico

$\displaystyle{\mathbf{V(A)\, -\, V(B)=\int_A^B\overrightarrow{\mathbf{E}}\cdot d\overrightarrow{\mathbf{s}}}}$

Proprietà delle forze conservative

$\displaystyle{\mathbf{\oint\overrightarrow{\mathbf{F}}_E\cdot d\overrightarrow{\mathbf{s}}=0}}$

Proprietà dei campi conservativi

$\displaystyle{\mathbf{\oint\overrightarrow{\mathbf{E}}\cdot d\overrightarrow{\mathbf{s}}=0}}$

Espressione differenziale

$\displaystyle{\mathbf{-\, dU=F_x dx+F_y dy+F_z dz}}$

Espressione differenziale

$\displaystyle{\mathbf{-\, dV=E_x dx+E_y dy+E_z dz}}$

Legame forza-energia potenziale

$\displaystyle{\mathbf{F_x=-\,\frac{\partial U}{\partial x}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{F_y=-\,\frac{\partial U}{\partial y}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{F_z=-\,\frac{\partial U}{\partial z}}}$

Legame campo elettrico-potenziale

$\displaystyle{\mathbf{E_x=-\,\frac{\partial V}{\partial x}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{E_y=-\,\frac{\partial V}{\partial y}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{E_z=-\,\frac{\partial V}{\partial z}}}$

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{F}}=F_x\, \hat{i}+F_y\,\hat{j}+F_z\,\hat{k}\,\qquad\,\qquad\qquad\qquad\overrightarrow{\mathbf{E}}=E_x\, \hat{i}+E_y\,\hat{j}+E_z\,\hat{k}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{F}}=-\, gradU=-\,\nabla U\qquad\qquad\qquad\qquad \overrightarrow{\mathbf{E}}=-\, gradV=-\,\nabla V}}$