Principi di Kirchhoff

Fino ad ora abbiamo studiato circuiti piuttosto semplici che possiamo risolvere con il metodo diretto. Se si passa a circuiti più complessi occorrono regole e teoremi che ci permettono di scrivere delle equazioni per risolvere gli esercizi. In questa lezione vediamo i due principi di Kirchhoff.

Primo principio di Kirchhoff

Si riferisce ai nodi. Sappiamo già che un nodo è un punto di un circuito in cui concorrono più di due rami.

 

 

Questo è un nodo. In esso convergono quattro rami in ognuno dei quali scorre una corrente. Svegliamo come verso positivo per le correnti quello entrante nel nodo. Le correnti sono allora positive se dirette verso il nodo e negative se se ne allontanano.

 

 

→ La somma algebrica di tutte le correnti che interessano il nodo deve essere nulla

Nel caso del nodo della figura scriveremo

Nel caso generale

Il simbolo Σ indica sommatoria, somma di tutte le correnti.

Il primo principio esprime la conservazione della carica. In condizioni stazionarie (corrente continua) la carica non cambia, questo vuol dire che la carica (gli elettroni) che arriva nel nodo deve essere uguale a quella che se ne allontana.

 

Secondo principio di Kirchhoff

Si riferisce alle maglie. Una maglia è un circuito chiuso ottenuto partendo da un nodo e tornando in esso percorrendo un certo numero di rami. Facciamo un esempio

 

 

Questo circuito ha due nodi B e C e tre maglie

 

 

 

 

Le tre maglie del circuito

 

 

Considerata una maglia, scegliamo un verso positivo (arbitrario) per le correnti, ad esempio quello orario.

→ La somma algebrica delle forze elettromotrici è uguale alla somma delle cadute di tensione sulle resistenze.

In realtà abbiamo già incontrato questa relazione nello studio dei circuiti elettrici serie e parallelo .

Applichiamo questo principio alla prima maglia, quella con V, R₁ e R₂

 

Vediamo un esempio di applicazione dei principi di Kirchhoff

 

V = 40 V

R₁ = 500 Ω     R₂ = 1000 Ω     R₃ = 750 Ω     R₄ = 250 Ω

Calcolare l tensione ai capi della resistenza R₄ 

 

Il circuito ha due nodi e tre maglie. La tensione ai capi di R₄ , applicando la legge di Ohm è

In R₄ scorre la stessa corrente che passa in R₃ perché le due resistenze sono collegate in serie, il che significa che tra di loro non c’è un nodo dove la corrente può dividersi. Per calcolare la I₃ dobbiamo trovare le altre due correnti. In pratica abbiamo tre incognite, dobbiamo scrivere tre equazioni.

Equazione al nodo B

L’equazione al nodo E non ci è di aiuto perché è uguale  quella appena scritta. Ricorriamo alle maglie. Abbiamo tre maglie, scegliamo la  ABEFA

Prendiamo poi la maglia esterna ABCDEFA

I nodi e le maglie li scegliamo in modo da semplificarci i conti e che non siano ridondanti come i due nodi del nostro esercizio.

Come verso positivo delle correnti abbiamo scelto quello orario.

Ora mettiamo tutto  sistema

 questo punto rimane da risolvere il sistema. Sostituiamo I₁ nella seconda e terza equazione

Svolgiamo le moltiplicazioni e mettiamo in evidenza le correnti

Se conoscete Cramer lo applicate, altrimenti ci conviene sostituire i valori numerici per non appesantire troppo il sistema. Lasciamo anche la prima equazione, quella ai nodi, che non ci serve più.

Per semplificare ulteriormente i calcoli possiamo dividere tutto per 100

Ricaviamo I₂ dalla prima equazione e la mettiamo nella seconda

.

Ricaviamo I₃

Infine troviamo la tensione ai capi della resistenza R₄ 

Abbiamo finito.