Campo elettrico e potenziale di un conduttore sferico

Questa lezione sul campo elettrico e potenziale di un conduttore sferico è dedicata agli studenti del liceo. Lo stesso argomento, per fisica 1 lo trovi nel menù in alto.

Partiamo da un conduttore sferico, lo carichiamo e lo teniamo isolato (altrimenti si scarica).

In un conduttore le cariche sono libere di muoversi. Più avanti puntualizzeremo che le cariche mobili, nei metalli, sono gli elettroni, ossia cariche negative. lo studio viene, però sempre fatto con quelle positive e così faremo anche noi. Vedremo perchè e come cambiano le cose (cambia il verso).

Queste cariche, essendo libere e dello stesso segno, si respingono e si allontanano l’una dall’altra. Così facendo arrivano tutte sulla superficie del conduttore.

All’equilibrio le cariche risultano tutte distribuite sulla superficie della sfera.

Iniziamo il nostro studio calcolande il campo elettrico E dentro e fuori la sfera.

Campo dentro la sfera

Utilizziamo il teorema di Gauss

$\displaystyle{\mathbf{\Phi_S(\overrightarrow{\mathbf{E}})=\frac{q_{int}}{\epsilon_o}}}$

Il flusso del vettore campo elettrico E, attraverso una qualsiasi superficie chiusa S, è pari alla carica totale contenuta dalla superficie (quella che stà dentro) , diviso la costante dielettrica del vuoto.

Come superficie chiusa prendiamo una sfera concentrica con il conduttore, quella in rosso. Il flusso attraverso la superficie S, essendo E parallelo alla normale alla superficie, assume il valore massimo

$\displaystyle{\mathbf{\Phi_S(\overrightarrow{\mathbf{E}})=E\, S}}$

Se non sei convinto torna al Teorema di Gauss – Flusso di un vettore.

A questo punto uguagliamo i due flussi

$\displaystyle{\mathbf{E\, S=\frac{q_{int}}{\epsilon_o}\,\Longrightarrow\, E=\frac{q_{int}}{\epsilon_o\, S}}}$

Quanta carica c’è all’interno della superficie S ? ZERO ! La carica si trova tutta sulla superficie del conduttore. Quindi

$\displaystyle{\mathbf{E=0}}$

All’interno del conduttore sferico il campo elettrico è nullo.

Campo fuori dalla sfera

Applichiamo ancora il teorema di Gauss

Scegliamo ancora una superficie chiusa sferica che, questa volta racchiude il conduttore.

Ripetiamo il ragionamento fatto prima.

$\displaystyle{\mathbf{\Phi_S(\overrightarrow{\mathbf{E}})=\frac{q_{int}}{\epsilon_o}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\Phi_S(\overrightarrow{\mathbf{E}})=E\, S}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{E\, S=\frac{q_{int}}{\epsilon_o}\,\Longrightarrow\, E=\frac{q_{int}}{\epsilon_o\, S}}}$

Questa volta c’è carica dentro la superficie di Gauss S, essa è la carica totale del conduttore sferico. La chiamiamo Q.

Scriviamo anche l’espressione della superficie

$\displaystyle{\mathbf{S=4\pi r^2}}$

Il campo elettrico diventa

$\displaystyle{\mathbf{E=\frac{Q}{4\pi\epsilon_o\, r^2}}}$

Questo è l’andamento del campo elettrico E.

Dentro la sfera è nullo, fuori diminuisce con il quadrato della distanza.

All’interno del conduttore il campo elettrostatico è nullo. Questa proprietà vale per qualunque conduttore e di forma qualsiasi. Le cariche si distribuiscono in modo da schermare l’interno dove E = 0 (Gabbia di Faraday).

Passiamo al calcolo del potenziale.

Potenziale esterno alla sfera

Abbiamo già visto il potenziale generato da una carica puntiforme in un punto P. In questo caso, da un punto P esterno, possiamo vedere il conduttore come se fosse una carica Q, concentrata nel centro e somma di tutte le cariche.

$\displaystyle{\mathbf{V(P)=\frac{Q}{4\pi\epsilon_o\, r}}}$

Potenziale all’interno

Calcoliamo il potenziale nel punto P interno al conduttore.

Quando calcoliamo il potenziale in un punto, lo facciamo tramite la differenza di potenziale tra quel punto e un punto di riferimento, che, di solito, prendiamo all’infinito. Lì poniamo V = 0.

Possiamo, però anche calcolare la d.d.p. tra due punti, come P e P’ nella figura. Questo lo possiamo fare se conosciamo il potenziale nel punto P’. Lo conosciamo ? Beh si ! Abbiamo appena calcolato il potenziale nei punti esterni alla sfera. P’ stà proprio sulla frontiera tra esterno e interno.

Dall’esterno, avvicinandoci alla sfera, r → R, quindi

$\displaystyle{\mathbf{V(P')=\frac{Q}{4\pi\epsilon_o\, R}}}$

Quando abbiamo studiato il potenziale elettrico abbiamo visto che esso può essere espresso dalla relazione

$\displaystyle{\mathbf{L=Q\Bigl (V_P-V_{P'}\Bigr )}}$

Ricordate la definizione generale di lavoro ?

$\displaystyle{\mathbf{L=Fr\cos\alpha=Fr}}$

Il coseno dell’angolo α è uguale a 1 dato che l’angolo tra la forza e lo spostamento r = PP’ è zero. La forza è radiale, va come le linee del campo elettrico, lo spostamento pure, sono paralleli.

Uguagliamo le due espressioni del lavoro

$\displaystyle{\mathbf{Q\Bigl (V_P-V_{P'}\Bigr )=Q\, E\, r}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{V_P-V_{P'}=E\, r}}$

Dato che all’interno della sfera E = 0

$\displaystyle{\mathbf{V_P-V_{P'}=0}}$

Da cui ricaviamo

$\displaystyle{\mathbf{V_P=V_{P'}=\frac{Q}{4\pi\epsilon_o\, R}}}$

Questo vuol dire che il potenziale è costante in tutti i punti della sfera perchè Q è fissa, 4πε_oè un numero e non cambia e R è il raggio.

All’interno della sfera il potenziale è costante i tutti i punti.

Anche se E = 0 dentro la sfera il potenziale c’è ed è costante.