Relazioni fondamentali della trigonometria

Dopo aver studiato le funzioni seno, coseno, tangente e cotangente, passiamo alle relazioni fondamentali della trigonometria.

Relazioni fondamentali

In questa figura abbiamo riportato tutto quello visto nella lezione precedente.

La circonferenza trigonometrica, di equazione

$\displaystyle{\mathbf{X^2+Y^2=1}}$

Il punto P di coordinate senα , cosα

$\displaystyle{\mathbf{P(\sin\alpha ; \cos\alpha)}}$

Il punto T che ha coordinate 1 ; tgα

$\displaystyle{\mathbf{T(1 ; \tan\alpha)}}$

E, infine il punto Q di coordinate ctgα , 1

$\displaystyle{\mathbf{Q( cotg\alpha ; 1)}}$

Consideriamo la retta r, quella passante per l’origine. La sua equazione è

$\displaystyle{\mathbf{y=m\, x}}$

Dove m è il coefficiente angolare della retta, ossia di quanto è inclinata la retta rispetto all’asse x.

$\displaystyle{\mathbf{m=\frac{y}{x}}}$

Se prendiamo il punto T, che appartiene alla retta r

$\displaystyle{\mathbf{m=\frac{\tan\alpha}{1}=\tan\alpha}}$

Il coefficiente angolare di un retta è la tangente trigonometrica dell’angolo α.

Anche il punto P appartiene alla retta r , quindi possiamo anche scrivere

$\displaystyle{\mathbf{m=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}}$

Quindi

$\displaystyle{\mathbf{\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}}$

Relazione valida ∀ α ≠ π/2 + K π che rappresenta tutti i punti nei quali si annulla il denominatore cosα.

Però anche il punto Q appartiene alla retta r

$\displaystyle{\mathbf{m=\frac{1}{\cot\alpha}}}$

Valida per ∀ α ≠ K π/2

Vale allora anche la relazione

$\displaystyle{\mathbf{\tan\alpha=\frac{1}{\cot\alpha}}}$

∀ α ≠ K π/2

o meglio

$\displaystyle{\mathbf{\cot\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}}}$

Riprendiamo l’equazione della circonferenza

$\displaystyle{\mathbf{X^2+Y^2=1}}$

essa passa per P

$\displaystyle{\mathbf{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1}}$

Le relazioni trovate

$\displaystyle{\mathbf{m=\tan\alpha}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\cot\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1}}$

Sono le relazioni fondamentali della trigonometria. Conoscendo già i valori del seno e del coseno di alcuni angoli particolari è ora semplice ricavarci i valori per la tangente e la cotangente.

Ad esempio, per α = π/6

$\displaystyle{\mathbf{\tan\frac{\pi}{6}=\cfrac{\sin\cfrac{\pi}{6}}{\cos\cfrac{\pi}{6}}=\frac{\sqrt{3}}{3}}}$

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