Filo carico di lunghezza infinita

Abbiamo già studiato il caso di un filo carico di lunghezza infinita e abbiamo visto che il campo è dato da :

$\displaystyle{\mathbf{E=\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_o r}}}$

dove λ è la distribuzione lineare di carica ed r è la distanza del punto P di osservazione dal filo. Vogliamo ricavare di nuovo il campo elettrico E utilizzando la legge di Gauss.

Questo è il nostro filo uniformemente carico di lunghezza infinita. P è il punto dove vogliamo andare a valutare il campo elettrico E.

Come prima cosa dobbiamo scegliere la superficie Σ di Gauss (quella tratteggiata). Scegliamo un cilindro concentrico al filo e passante per il punto P.

Σ è un cilindro di raggio r e altezza h. La legge di Gauss impone che la superficie attraverso la quale valutare il flusso del campo elettrico sia chiusa. Il nostro cilindro lo è.

Conviene vedere questo cilindro come costituito dall’unione delle superfici di base S_A e S_B e di quella laterale S_L.

$\displaystyle{\mathbf{\Sigma = S_A\cup S_B\cup S_L}}$

Facciamo questo perchè, in tal modo, per S_A e S_B la normale n alle superfici risulta perpendicolare al vettore campo elettrico, di conseguenza il loro prodotto scalare è nullo (cos90^o = 0). Il flusso è nullo su S_A e S_B . Per la superficie laterale S_L invece, essendo la normale ad essa parallela al vettore campo elettrico, il flusso risulta massimo (cos0⁰ = 1).

Calcoliamo il flusso del vettore campo elettrico attraverso la superficie di Gauss

$\displaystyle{\mathbf{\Phi_{\Sigma}(\overrightarrow{\mathbf{E}})=\Phi_{S_L}(\overrightarrow{\mathbf{E}})=\int_{S_L}\overrightarrow{\mathbf{E}}\cdot\hat{n}\, dS=\int_{S_L}E\, dS}}$

Dobbiamo notare che lungo tutta la superficie laterale S_L il campo elettrico E è sempre lo stesso in modulo perchè la distanza r è costante. Portiamo allora E fuori dall’integrale.

$\displaystyle{\mathbf{\Phi_{\Sigma}(\overrightarrow{\mathbf{E}})=E\int_{S_L}\, dS=E\, S_L=E \, 2\pi\,r\,h}}$

Ora applichiamo la legge di Gauss che ci dice che il flusso attraverso la superficie è pari alla carica interna (alla superficie) diviso la costante ε_o.

$\displaystyle{\mathbf{\Phi_{\Sigma}(\overrightarrow{\mathbf{E}})=2\,\pi\, r\, h = \frac{q_{int}}{\epsilon_o}}}$

q_int è la carica interna al cilindro. Utilizzando la densità lineare di carica si ha :

$\displaystyle{\mathbf{\lambda =\frac{q}{h}\qquad \Longrightarrow\qquad q=\lambda\, h}}$

Sostituiamo

$\displaystyle{\mathbf{E\, 2\,\pi\, r\, h = \frac{\lambda\, h}{\epsilon_o}}}$

Da questa ricaviamo il campo elettrico E

$\displaystyle{\mathbf{E=\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_o r}}}$

Il campo elettrico non dipende dalla lunghezza del cilindro.