Seconda equazione di Maxwell

Prima di introdurre la seconda equazione di Maxwell dobbiamo parlare del teorema di Stokes.

Torema di Stokes

E’ un teorema che vale per i campi vettoriali. Lo vediamo direttamente con il campo elettrico E .

Vogliamo calcolare l’integrale del vettore campo elettrico attraverso la linea chiusa E.

$\displaystyle{\mathbf{\oint\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dl}}}$

Sappiamo che questo integrale deve valere zero (come visto nella lezione sul potenziale elettrostatico), perchè il campo elettrico è un campo conservativo.

Costruiamo una superficie S che ha la linea L come bordo. Disegniamo anche un elementino di superficie dS e la normale ad essa n.

Il teorema di Stokes ci dice che :

$\displaystyle{\mathbf{\oint\overrightarrow{\mathbf{E}}\cdot\overrightarrow{\mathbf{dl}}=\int_S rot\overrightarrow{E}\cdot\hat{n}\, dS}}$

Ossia si passa da un integrale di linea ad un integrale superficiale. Dobbiamo specificare cosa è il rotore di un vettore.

$\displaystyle{\mathbf{rot\overrightarrow{\mathbf{E}}=\nabla\times\overrightarrow{\mathbf{E}}}}$

Ricordiamo che l’operatore nabla è :

$\displaystyle{\mathbf{\nabla=\frac{\partial}{\partial x}\,\hat{i}+\frac{\partial}{\partial y}\,\hat{j}+\frac{\partial}{\partial z}\,\hat{k}}}$

Esprimiamo il campo elettrico E tramite le sue componenti

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{E}}=E_x\hat{i}+E_y\hat{j}+E_z\hat{k}}}$

Allora il prodotto vettoriale è dato dalla matrice

$\displaystyle{\mathbf{\left[\begin{array}{ccc} \hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\ \frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\ E_x & E_y & E_z \end{array} \right] }}$

Basta estrarre i minori facendo attenzione ai segni.

Torniamo al teorema di Stokes

$\displaystyle{\mathbf{\oint\overrightarrow{\mathbf{E}}\cdot\overrightarrow{\mathbf{dl}}=\int_S rot\overrightarrow{E}\cdot\hat{n}\, dS}}$

Sappiamo che

$\displaystyle{\mathbf{\oint\overrightarrow{\mathbf{E}}\cdot\overrightarrow{dl}=0}}$

Possiamo dire che anche la funzione nel secondo integrale è nulla ?

$\displaystyle{\mathbf{ rot\overrightarrow{\mathbf{E}}\cdot\hat{n}=0 }}$

Si, lo possiamo dire perchè l’integrale non dipende dalla particolare superficie scelta. Ne avevamo infinite, di cui ne abbiamo presa una. Se l’integrale è pari a zero qualunque sia la superficie S, allora la funzione all’interno dell’integrale è nulla.

In definitiva possiamo scrivere :

$\displaystyle{\mathbf{ rot\overrightarrow{\mathbf{E}}=\nabla\times\overrightarrow{\mathbf{E}}=0}}$

Questa costituisce la seconda equazione di Maxwell, però attenzione vale solo in elettrostatica.

Questa relazione è gemella della :

$\displaystyle{\mathbf{ \overrightarrow{\mathbf{E}}=-gradV=-\nabla V}}$

Se le consideriamo insieme (combiniamo la prima con la seconda per vedere se otteniamo qualche informazione in più, se non succede sono la stessa cosa).

$\displaystyle{\mathbf{\begin{cases}\nabla\times \overrightarrow{\mathbf{E}}=0\\ \overrightarrow{\mathbf{E}}=-grad V\end{cases}}}$

Otteniamo

$\displaystyle{\mathbf{\nabla\times (-grad V)=\nabla\times(-\nabla V)=-\nabla\times\nabla V=0}}$

(Quando un vettore si moltiplica vettorialmente per se stesso, nabla è un vettore, viene zero, l’angolo tra di loro è zero e sen0 = 0).

Riprendiamo l’equazione

$\displaystyle{\mathbf{ rot\overrightarrow{\mathbf{E}}=\nabla\times\overrightarrow{\mathbf{E}}=0}}$

Il campo elettrico ha rotore nullo, è irrotazionale.

Se ricordiamo prima equazione di Maxwell

$\displaystyle{\mathbf{div\overrightarrow{\mathbf{E}}=\nabla\cdot\overrightarrow{\mathbf{E}}=\frac{\rho}{\epsilon_o}}}$

vediamo che essa è il prodotto scalare dell’operatore ∇ nabla, la seconda equazione di Maxwell è il prodotto vettoriale dell’operatore nabla.

Consideriamo ora le seguenti due equazioni

$\displaystyle{\mathbf{\begin{cases}\nabla\cdot \overrightarrow{\mathbf{E}}=\frac{\rho}{\epsilon_o}\\ \overrightarrow{\mathbf{E}}=-grad V=-\nabla V\end{cases}}}$

e uniamole

$\displaystyle{\mathbf{\nabla\cdot (-\nabla V)=\frac{\rho}{\epsilon_o}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\nabla\cdot\nabla V=-\,\frac{\rho}{\epsilon_o}}}$ $\displaystyle{\mathbf{\nabla^2 V=-\,\frac{\rho}{\epsilon_o}}}$

Questa è l’equazione di Piosson.

In queste ultime lezioni abbiamo usato diversi operatori abbastanza complessi, vi può tornare utile il seguente specchietto riassuntivo.

Operatore nabla ∇

$\displaystyle{\mathbf{\nabla =\frac{\partial}{\partial x}\,\hat{i}+\frac{\partial}{\partial y}\,\hat{j}+\frac{\partial}{\partial z}\,\hat{k}}}$

Gradiente

Agisce su uno scalare, ad esempio V e restituisce un vettore

$\displaystyle{\mathbf{gradV=\nabla V =\frac{\partial V}{\partial x}\,\hat{i}+\frac{\partial V}{\partial y}\,\hat{j}+\frac{\partial V}{\partial z}\,\hat{k}}}$

Divergenza

Agisce su un vettore, ad esempio E e restituisce uno scalare

$\displaystyle{\mathbf{div \overrightarrow{\mathbf{E}}=\nabla\cdot\overrightarrow{\mathbf{E}}=\frac{\partial E_x}{\partial x}+\frac{\partial E_y}{\partial y}+\frac{\partial E_z}{\partial z}}}$

Rotore

Agisce su un vettore e restituisce un vettore

$\displaystyle{\mathbf{rot \overrightarrow{\mathbf{E}}=\nabla\times \overrightarrow{\mathbf{E}}=\left [\begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z} \\ E_x & E_y & E_z \end{array} \right ] }}$

Basta estrarre i minori facendo attenzione ai segni.