Campo elettrico di uno strato piano e doppio strato

Studiamo ora il campo elettrico generato da uno strato piano e da un doppio strato. Abbiamo visto il caso di un disco piano uniformemente carico e calcolato il campo elettrico lungo il suo asse.

$\displaystyle{\mathbf{E=\frac{\sigma}{2\epsilon_o}\,\Biggl (1-\frac{x}{\sqrt{x^2+R^2}}\Biggr )}}$

Pensiamo di aumentare il raggio R del disco, in tal modo le dimensioni del disco aumentano. Se R → ∞ il disco viene a coincidere con tutto il piano. Il campo elettrico di uno strato piano lo possiamo allora ottenere da quello del disco per R→∞

$\displaystyle{\mathbf{E=\lim_{R\to \infty}\,\frac{\sigma}{2\epsilon_o}\,\Biggl (1-\frac{x}{\sqrt{x^2+R^2}}\Biggr )=\frac{\sigma}{2\epsilon_o}}}$

Notiamo che ora non compare più la posizione x del punto scelto per il calcolo del campo, questo vuol dire che il campo E è costante e le sue linee di forza sono uniformi.

Il campo generato da uno strato piano è, in ogni punto, uniforme e pari a

$\displaystyle{\mathbf{E=\frac{\sigma}{2\epsilon_o}}}$

Normalmente il piano uniformemente carico viene disegnato di lato

Per ottenere un doppio strato ci occorrono due strati piani. In particolare, un doppio strato è formato da due piani paralleli posti a distanza d, di cui uno è carico positivamente, l’altro negativamente.

Questa struttura è molto importante perchè costituisce il principio del condensatore piano.

Per studiare il campo elettrico generato da un doppio strato utilizziamo la legge di sovrapposizione degli effetti. Consideriamo quindi, prima lo strato 1 da solo, il quale genera il campo E₁

E₁ è il campo generato da una distribuzione positiva di carica. Le linee di campo elettrico sono parallele e si allontanano dalla distribuzione verso l’esterno.

$\displaystyle{\mathbf{E_1=\frac{\sigma}{2\epsilon_o}}}$

Consideriamo poi lo strato 2 da solo

Le linee di forza sono sempre orizzontali però, in questo caso la distribuzione non è una sorgente, ma un pozzo, quindi le linee nascono all’infinito e finiscono nel pozzo. L’unica differenza rispetto a prima stà nel verso.

Ora consideriamo le due distribuzioni

Abbiamo segnato in rosso le linee di forza della distribuzione positiva. Per studiare il campo elettrico consideriamo le tre zone di figura e scegliamo un verso positivo per le linee di forza, quello verso destra →

Studiamo un tratto per volta.

Tratto 1

In questa zona il campo E₁ è negativo (quello in rosso), mentre il campo E₂ è positivo (quello in nero). Calcoliamo il campo elettrico totale

$\displaystyle{\mathbf{E_{t_1}=-E_1+E_2=-\,\frac{\sigma_1}{2\epsilon_o}+\,\frac{\sigma_2}{2\epsilon_o}=\frac{\sigma_2-\sigma_1}{2\epsilon_o}}}$

Tratto 2

Qui i campi elettrici sono entrambi positivi

$\displaystyle{\mathbf{E_{t_2}=E_1+E_2=\frac{\sigma_1 +\sigma_2}{2\epsilon_o}}}$

Tratto 3

In questa zone il campo elettrico E₁ è positivo mentre E₂ è negativo

$\displaystyle{\mathbf{E_{t_3}=E_1-E_2=\frac{\sigma_1 -\sigma_2}{2\epsilon_o}}}$

Se le due distribuzioni di carica sono uguali in modulo, σ₁ = σ₂ = σ, si ha

$\displaystyle{\mathbf{E_{t_1}=\frac{\sigma-\sigma}{2\epsilon_o}=0}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{E_{t_2}=\frac{\sigma +\sigma}{2\epsilon_o}=\frac{\sigma}{\epsilon_o}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{E_{t_3}=\frac{\sigma -\sigma}{2\epsilon_o}=0}}$

All’esterno delle due distribuzioni i campi elettrici si bilanciano e si annullano, all’interno il campo si raddoppia.

$\displaystyle{\mathbf{E_t=\frac{\sigma}{\epsilon_o}}}$

E’ il campo elettrico di un doppio strato.

Il campo elettrico risulta interno ai due piani.

Dato che le dimensioni dei piani non sono infinite, il campo elettrico ai bordi si incurva e perde anche di intensità (effetti di bordo).