Campo magnetico generato da un solenoide

Abbiamo visto il campo generato da una spira passiamo ora al campo magnetico generato da un solenoide.

Un sistema formato da N spire solidali tra di loro costituisce un solenoide.

E’ un avvolgimento elicoidale con asse rettilineo e può essere considerato come un sistema di spire.

Il campo prodotto in un punto è la somma dei campi prodotti da ciascuna spira.

Solenoide in sezione Questo è un solenoide tagliato a metà. I cerchi rappresentano le spire . I punti nei cerchi indicano che la corrente è uscente, le x che è entrante. L è la lunghezza totale e la linea tratteggiata in rosso è l’asse del solenoide.

Calcoliamo il campo magnetico in un punto P posto lungo l’asse. Per ragioni di simmetria, viste la lezione scorsa, il vettore induzione magnetica B è diretto lungo l’asse e, il suo verso, è quello di una vite destra che si avvolge girando come la corrente nelle spire.

Campo magnetico generato da un solenoide P è il punto nel quale andiamo a calcolare il campo, R è il raggio delle spire che supponiamo in numero di N.

Consideriamo un elemento dx del solenoide. Il numero di spire contenute in dx sarà

$\displaystyle{\mathbf{.\qquad\qquad \frac{N}{L}\, dx}}$

Il contributo al campo dB dovuto all’elemento dx possiamo scriverlo come quello dovuto ad una spira moltiplicato per il numero delle spire in considerazione.

$\displaystyle{\mathbf{dB=\frac{\mu_o}{2}\,\frac{N}{L}\, I\,\frac{R^2}{\Bigl (R^2+x^2\Bigr )^{\frac{3}{2}}}\, dx}}$

Sempre come fatto per la spira, visto che per avere il campo totale dovremo eseguire un’integrazione, cerchiamo di avere una sola variabile.

Dalla figura ricaviamo

$\displaystyle{\mathbf{r\sin\Phi=R}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{r\cos\Phi=x}}$

Facciamo il rapporto tra le due equazioni

$\displaystyle{\mathbf{\frac{\sin\Phi}{\cos\Phi}=\frac{R}{x}}}$

Ricaviamo x

$\displaystyle{\mathbf{x=R\,\frac{\cos\Phi}{\sin\Phi}}}$

Dato che stiamo cercando dx, dobbiamo differenziare questa espressione

$\displaystyle{\mathbf{dx=-R\,\frac{d\Phi}{\sin^2\Phi}}}$

Dobbiamo anche esprimere x² + R²

$\displaystyle{\mathbf{x=R\,\frac{\cos\Phi}{\sin\Phi}\, \Longrightarrow\, x^2=R^2\,\frac{\cos^2\Phi}{\sin^2\Phi}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{x^2+R^2=R^2\,\frac{\cos^2\Phi}{\sin^2\Phi}+R^2=R^2\,\Biggl (1+\frac{\cos^2\Phi}{\sin^2\Phi}\biggr )=R^2\,\Biggl (\frac{\sin^2\Phi+\cos^2\Phi}{\sin^2\Phi}\Biggr )=\frac{R^2}{\sin^2\Phi}}}$

Rimane da sostituire quanto trovato per dx e per x² + R²nel contributo dB

$\displaystyle{\mathbf{dB=\frac{\mu_o\, N}{2L}\, I\, \cfrac{R^2}{\Biggl (\cfrac{R^2}{\sin^2\Phi}\Biggr )^{\frac{3}{2}}}\, \Biggl ( -R\,\frac{d\Phi}{\sin^2\Phi}\Biggr )=-\frac{\mu_o\, N}{2L}\,I\,\sin\Phi\, d\Phi }}$

Rimane da calcolare il camp totale B.

Il campo totale generato dal solenoide lo otteniamo integrando dB tra i valori estremi α e β.

$\displaystyle{\mathbf{B=-\frac{\mu_o\, N}{2L}\, I\,\int_{\alpha}^{\beta}\sin\Phi\, d\Phi}}$

Abbiamo portato fuori dall’integrale tutto ciò che è costante.

$\displaystyle{\mathbf{B= -\frac{\mu_o\, N}{2L}\, I\, (-\cos\beta +\cos\alpha ) = \frac{\mu_o\, N}{2L}\, I\, (\cos\beta -\cos\alpha )}}$

Questo è il campo magnetico generato da un solenoide in un punto P.

Casi particolari

Punto interno e lontano dalle estremità. Consideriamo anche un solenoide molto lungo L >> R. In tal caso risulta :

α → π

β → 0

$\displaystyle{\mathbf{B= \frac{\mu_o\, N}{L}\, I}}$

Punto P all’estremo del solenoide

α = π/2

β = 0

$\displaystyle{\mathbf{B= \frac{\mu_o\, N}{2L}\, I}}$