Forze tra cariche in moto

Per studiare le forze tra cariche in moto consideriamo due cariche +q₁e +q₂ poste a distanza r tra di loro.

Se le cariche sono ferme subiscono la reciproca repulsione coulombiana.

Il campo elettrico che crea la prima carica nel punto dove è posizionata la seconda sappiamo essere

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{E}}_1=\frac{1}{4\pi\epsilon_o}\, q_1\,\frac{\overrightarrow{\mathbf{r}}}{r^3}}}$

Sulla carica q₂viene ad agire la forza elettrica dovuta a q₁

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{F}}_{E_{21}}=\frac{1}{4\pi\epsilon_o}\, q_1\, q_2\,\frac{\overrightarrow{\mathbf{r}}}{r^3}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{F}}_{E_{21}}=q_2 \overrightarrow{\mathbf{E}}_1}}$

Ovviamente c’è anche il campo E2 generato dalla seconda carica e la forza F_E12che agisce su q₁dovuta a q₂.

Tutto questo, che già conosciamo, vale se le cariche sono ferme. Cariche ferme, niente effetti magnetici.

Andiamo a vedere cosa succede quando le cariche si muovono. In particolare vogliamo studiare cosa succede alla carica q₂per effetto del campo magnetico generato da q₁.

Mettiamo in moto le cariche imprimendo ad esse due velocità parallele ed equiverse.

La velocità V1 è quella che ci serve per creare il campo magnetico che agisce su q₂, la velocità V2 per avere su q₂la forza magnetica.

Se la prima carica è ferma, non genera il campo magnetico che vogliamo sulla seconda. Se la seconda carica è ferma non risente delle azioni magnetiche, quindi su di essa non agisce la forza di Lorentz.

Il campo magnetico (o meglio, il vettore induzione magnetica B con il quale lo rappresentiamo) che genera la prima carica q₁lì dove si trova la seconda carica q₂ è dato da

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{B}}_1=\Biggl (\frac{\mu_o}{4\pi}\Biggr )\,\Bigl (q_1\,\overrightarrow{\mathbf{v}}_1\Bigr )\times\Biggl (\frac{\overrightarrow{\mathbf{r}}}{r^3}\Biggr )}}$

Su q₂ viene allora ad agire la forza di Lorentz

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{F}}_{L_{21}}=q_2\overrightarrow{\mathbf{v}}_2\times\overrightarrow{\mathbf{B}}_1}}$

Sostituiamo B1 in F_L21

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{F}}_{L_{21}}=q_2\overrightarrow{\mathbf{v}}_2\times\Biggl [\Biggl (\frac{\mu_o}{4\pi}\Biggr )\,\Bigl (q_1\overrightarrow{\mathbf{v}}_1\Bigr )\times\Biggl (\frac{\overrightarrow{\mathbf{r}}}{r^3}\Biggr )\Biggr ]}}$

La sistemiamo meglio

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{F}}_{L_{21}}=\Biggl (\frac{\mu_o}{4\pi}\Biggr )\, q_1\, q_2\,\Biggl [\overrightarrow{\mathbf{v}}_2\times\Biggl (\overrightarrow{\mathbf{v}}_1\times\frac{\overrightarrow{\mathbf{r}}}{r^3}\Biggr )\Biggr ]}}$

Ci troviamo, purtroppo, davanti ad un doppio prodotto vettoriale. Riportiamo il suo sviluppo

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{A}}\times\Bigl ( \overrightarrow{\mathbf{B}}\times\overrightarrow{\mathbf{C}}\Bigr )=\overrightarrow{\mathbf{B}}\Bigl (\overrightarrow{\mathbf{A}}\cdot\overrightarrow{\mathbf{C}}\Bigr )-\overrightarrow{\mathbf{C}}\Bigl (\overrightarrow{\mathbf{A}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{B}}\Bigr )}}$

e applichiamolo al nostro caso. Sviluppiamo il doppio prodotto vettoriale da solo.

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{v}}_2\times\Biggl (\overrightarrow{\mathbf{v}}_1\times\frac{\overrightarrow{\mathbf{r}}}{r^3}\Biggr )=\overrightarrow{\mathbf{v}}_1\Biggl (\overrightarrow{\mathbf{v}}_2\cdot\frac{\overrightarrow{\mathbf{r}}}{r^3}\Biggr )-\frac{\overrightarrow{\mathbf{r}}}{r^3}\Biggl (\overrightarrow{\mathbf{v}}_2\cdot\overrightarrow{\mathbf{v}}_1\Biggr )}}$

Andiamo ad esaminare i vari elementi con la speranza che qualcuno sparisca.

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{v}}_2\cdot\frac{\overrightarrow{\mathbf{r}}}{r^3}=v_2\, \frac{r}{r^3}\,\cos\alpha = 0}}$

Questo termine si azzera perchè V₂ e r sono perpendicolari e il coseno del loro angolo è zero.

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{v}}_2\cdot\overrightarrow{\mathbf{v}}_1=v_2\, v_1\,\cos\alpha=v_2\, v_1}}$

Le due velocità sono parallele, α = 0 e cosα = 1

Sostituiamo quanto trovato nella forza di Lorentz

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{F}}_{L_{21}}=-\Biggl (\frac{\mu_o}{4\pi}\Biggr )\, q_1\, q_2\,\Bigl (v_2\, v_1\Bigr )\,\frac{\overrightarrow{\mathbf{r}}}{r^3}}}$

Il meno compare perchè c’è nello sviluppo del doppio prodotto vettoriale.

La forza di Lorentz è controradiale, è attrattiva.

Per il campo elettrico due cariche dello stesso segno si respingono. Da un punto di vista magnetico, se le velocità sono parallele ed equiverse , si presenta un fenomeno attrattivo.

Provate a vedere cosa succede se le velocità hanno verso opposto. Forse la forza diventa repulsiva ?.

Facciamo il rapporto tra i moduli della forza di Lorentz e di quella elettrica.

$\displaystyle{\mathbf{F_L=\frac{\mu_o}{4\pi}\,\frac{q_1\, q_2\, v_2\, v_1}{r^2}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{F_E=\frac{1}{4\pi\epsilon_o}\,\frac{q_1\, q_2}{r^2}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\frac{F_L}{F_E}=(\mu_o\, \epsilon_o)\, v_2\, v_1}}$

Il rapporto tra due forze deve dare come risultato un numero, deve essere adimensionale. Il prodotto μ_o ε_odeve avere, come dimensione, l’inverso di una velocità al quadrato. Esso è l’inverso del quadrato della velocità di propagazione delle onde elettromagnetiche nel vuoto. Onde radio, luce, …

Questa velocità ha un valore di circa 300.000 Km/s

I fenomeni elettromagnetici, se avvengono nel vuoto, si propagano a questa velocità. All’interno della materia rallentano.

$\displaystyle{\mathbf{c^2=\frac{1}{\mu_o\,\epsilon_o}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\frac{F_L}{F_E}=(\mu_o\, \epsilon_o)\, v_2\, v_1=\frac{v_2\, v_1}{c^2}}}$

Calcoliamo la velocità della luce in base ai valori di μ_oe ε_o

$\displaystyle{\mathbf{c=\frac{1}{\sqrt{\mu_o\,\epsilon_o}}=\cfrac{1}{\sqrt{4\pi\, 10^{-7}\,\cfrac{10^{-9}}{36\pi}}}=3\cdot 10^8\, m/s}}$

Questo vuol dire che la luce del sole impiega circa otto minuti per arrivare fino a noi.

La velocità della luce è la massima possibile.

Le particelle cariche, come la nostra q₂hanno velocità molto inferiori a quella della luce.

$\displaystyle{\mathbf{\frac{F_L}{F_E}=\frac{v_2\, v_1}{c^2}<< 1}}$

Dalle forze tra cariche in moto dobbiamo passare a quelle che si generano nel caso di correnti, ossia tante cariche in moto. Ovviamente nella prossima lezione.