Forza di risucchio del condensatore

Forza di risucchio del condensatore vuol dire che esso è in grado di succhiare al suo interno la lastra di dielettrico.

Per il nostro studio partiamo da questa condizione.

La lastra di dielettrico è in parte fuori e in parte dentro al condensatore. Supponiamo, inoltre che la lastra riempia tutto lo spazio d tra le armature.

La lastra viene risucchiata all’interno del condensatore da una forza che chiamiamo forza di risucchio. Vogliamo quantizzare questa forza.

Quando abbiamo calcolato la capacità di un condensatore con dielettrico, non sono mai state considerate le cariche di polarizzazione , ma hanno la loro importanza, eccome !. Le cariche – Q_pol, di polarizzazione, che si creano nel dielettrico vengono attratte dalle cariche + Q_lib, libere, allocate sull’armatura positiva (zona in alto del condensatore) e le cariche – Q_polsono attratte da quelle libere + Q_lib(zona in basso). In totale c’è una forza che tende a portare il dielettrico dentro la struttura del condensatore.

Abbiamo aggiunto un asse x per determinare le varie posizioni. In tal modo la lastra di dielettrico risulta inserita di un tratto x, la lunghezza delle armature è L, la parte ancora vuota è L – x.

Prendiamo in considerazione anche l’altra dimensione dell’armatura, lo spessore, che indichiamo con la lettera b. In tal modo la superficie delle armature risulta

S = L × b

Se guardiamo bene la figura, ci accorgiamo che questa struttura è proprio uguale al caso visto la lezione scorsa, quindi possiamo assimilarla a due capacità in parallelo.

La capacità C1 è quella contenente il dielettrico

La capacità C2 è quella nel vuoto

La capacità totale è C = C1 + C2

Vediamo le espressioni di tutte queste capacità

$\displaystyle{\mathbf{C_1=\frac{\epsilon_o\,\epsilon_r\, xb}{d}}}$

Il prodotto xb è la sezione di C1.

$\displaystyle{\mathbf{C_2=\frac{\epsilon_o\, (L-x)\, b}{d}}}$

(L – x) b è la sezione di C2.

$\displaystyle{\mathbf{C=C_1+C_2=\frac{\epsilon_o\,\epsilon_r\, x\, b}{d}+\frac{\epsilon_o\, (L-x)\, b}{d}}}$

Facciamo un pò di semplici operazioni e arriviamo all’espressione

$\displaystyle{\mathbf{C=\frac{\epsilon_o\, b}{d}\, [L+x(\epsilon_r-1)]}}$

La capacità aumenta all’aumentare di x. Più il dielettrico è inserito e maggiore è la capacità del condensatore.

Se x = 0, ossia se la lastra è completamente fuori, ritroviamo la capacità di un condensatore vuoto.

$\displaystyle{\mathbf{C=\frac{\epsilon_o\, b\, L}{d}=\frac{\epsilon_o\, S}{d}}}$

Se x = L il dielettrico è tutto nel condensatore

$\displaystyle{\mathbf{C=\frac{\epsilon_o\,\epsilon_r\, b\, L}{d}=\frac{\epsilon_o\,\epsilon_r\, S}{d}}}$

Per esprimere la forza di risucchio del condensatore ci serve l’energia elettrostatica perchè la forza è uguale a meno gradiente di U_el

$\displaystyle{\mathbf{F=-gradU}}$

In generale l’nergia immagazzinata in un condensatore è data da

$\displaystyle{\mathbf{U_{el}=\frac{1}{2}\,\frac{Q^2}{C}}}$

Nel nostro caso C è funzione della posizione x

$\displaystyle{\mathbf{U_{el}(x)=\frac{1}{2}\,\frac{Q^2}{C(x)}}}$

La carica Q non è funzione della posizione x della lastra, infatti, inserendo di più o di meno la lastra di dielettrico, la carica non cambia, essa è la carica libera, quello che può variare è la sua distribuzione.

Per capire cosa succede dobbiamo ricordarci che la tendenza naturale, quando c’è una funzione energia potenziale, è quella che porta a diminuire il più possibile tale energia. Un oggetto lasciato da una certa quota h scende verso il basso, lì dove le sua energia potenziale è minore.

La forza F, nel condensatore, nasce nella direzione che porta alla diminuzione dell’energia potenziale elettrica, quindi attira la lastra nella sua struttura. Più la lastra penetra nel condensatore, più aumenta la capacità e diminuisce l’energia potenziale (insomma, C è a denominatore nell’espressione di U, se aumenta C diminuisce U).

Non è tutto, c’è da dire anche che questa forza nasce solo nella direzione x. Anche se il dielettrico non riempie tutto lo spazio e la lastra può andare su e giù la capacità non cambia (lo abbiamo dimostrato qui ). Se non varia C non lo fa neanche U, quindi neanche F.

Visto che la Forza varia solo lungo x utilizziamo la derivata totale e non quella parziale per esprimere il gradiente.

$\displaystyle{\mathbf{F_x=-\,\frac{dU_{el}}{dx}=-\,\frac{1}{2}\, Q^2\,\frac{d}{dx}\Biggl (\frac{1}{C(x)}\Biggr )}}$

La C è una funzione di x, la derivata è composta, dobbiamo fare – 1/C²per la derivata di C

$\displaystyle{\mathbf{F_x=\frac{1}{2}\,\frac{Q^2}{[C(x)]^2}\,\frac{d}{dx}C(x)}}$

Calcoliamo la derivata di C(x)

$\displaystyle{\mathbf{\frac{d}{dx}C(x)=\frac{d}{dx}\Biggl [\frac{\epsilon_o\, b}{d}\, [L+x(\epsilon_r -1)]\Biggr ]=\frac{\epsilon_o\,(\epsilon_r -1)\, b}{d}}}$

e la mettiamo nella forza

$\displaystyle{\mathbf{F_x=\frac{1}{2}\,\frac{Q^2}{[C(x)]^2}\,\frac{\epsilon_o\,(\epsilon_r -1)\, b}{d}}}$

dove

$\displaystyle{\mathbf{[C(x)]^2=\Biggl [\frac{\epsilon_o\, b}{d}\, [L+x(\epsilon_r -1)]\Biggr ]^2}}$

La forza di risucchio del condensatore ci è venuta positiva, infatti è attrattiva.

Notiamo un’ultima cosa. Fx dovrebbe annullarsi per x = L, quando il dielettrico è completamente inserito, invece questo non avviene. Cio deriva dall’aver trascurato tutti gli effetti di bordo del condensatore.