Energia – Pendolo semplice

Studio del pendolo semplice con l’energia.

Riprendiamo il pendolo semplice, ossia una massa m appesa ad un filo privo di massa ed inestensibile attaccato ad un cardine.

Scriviamo il secondo principio lungo n e t

$\displaystyle{\mathbf{n\;:\;T-P\cos\theta=ma_n=m\,\frac{v^2}{L}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{t\;:\;-P\sin\theta=ma_t=m\,\frac{d^2s}{dt^2}}}$ .

Dall’equazione lungo n ricaviamo la tensione della fune T

$\displaystyle{\mathbf{T=m\,\frac{v^2}{L}+P\cos\theta=m\,\frac{v^2}{L}+mg\cos\theta}}$ .

Per avere T ci serve la velocita’. Abbiamo gia’ ricavato la V nello studio del pendolo in dinamica, ora lo facciamo con considerazioni energetiche.

Il punto 2 e’ il punto nel quale vogliamo conoscere la velocita’, il punto 1 e’ quello che corrisponde al massimo angolo di oscillazione e il punto 3 e’ il punto dove prendiamo il nostro riferimento, la nostra quota di riferimento.

Scriviamo l’energia meccanica per i punti 1 e 2

Punto 1

$\displaystyle{\mathbf{E_{m1}=U_1^P+E_{C1}=mgh=mg(L-L\cos\theta_{max})=mgL(1-\cos\theta_{max})}}$ .

L’energia cinetica E_C1 nel punto 1 e’ nulla perche’ in quel punto si inverte il moto e la massa e’ ferma.

Punto 2

$\displaystyle{\mathbf{E_{m2}=U_2^P+E_{C2}=mg(L-L\cos\theta )+\frac{1}{2}\,mv^2=mgL(1-\cos\theta)+\frac{1}{2}\,mv^2}}$ .

Possiamo applicare, in questo caso la conservazione dell’energia meccanica ?. In teoria no, perche’ la tensione T e’ una forza non conservativa, in pratica si perche’ T e spostamento sono a 90⁰_.Allora il lavoro compiuto dalla forza T e’ nullo e l’energia meccanica si conserva. Possiamo cosi’ porre

E_m1 = E_m2

$\displaystyle{\mathbf{mgL(1-\cos\theta_{max})=mgL(1-\cos\theta)+\frac{1}{2}\,mv^2}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\frac{1}{2}\,v^2=gL(1-\cos\theta_{max}-1+\cos\theta)=gL(\cos\theta-\cos\theta_{max})}}$ .

Ora ricaviamo la velocita’ al punto 2

$\displaystyle{\mathbf{v=\sqrt{2gL(\cos\theta-\cos\theta_{max})}}}$ .

Siamo ora in grado di ricavarci T mettendo la velocita’ trovata nella sua espressione

$\displaystyle{\mathbf{T=mg\cos\theta+\frac{mv^2}{L}=mg\cos\theta+mg\frac{2L(\cos\theta-\cos\theta_{max})}{L}=mg(\cos\theta+2\cos\theta-2\cos\theta_{max})=mg(3\cos\theta-2\cos\theta_{max})}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{T=mg(3\cos\theta-2\cos\theta_{max})}}$ .

Lo studio del pendolo semplice con l’energia facilita molto la soluzione.

Come prossimo esempio vediamo il caso della guida circolare. Questo e’ un esempio particolarmente importante.

I like physics

Energia – Pendolo semplice

Prossima lezione esempio con Guida circolare