Urto perfettamente anelastico

E’ il caso in cui dopo l’urto i corpi procedono insieme, quindi con la stessa velocita’. Per studiare questo caso consideriamo un proiettile ed un oggetto, ad esempio di legno, che si scontrano. Il proiettile, a causa dell’urto si conficca nel pezzo di legno.

dopo l’urto i due corpi procedono insieme. Abbiamo visto che la quantita’ di moto si conserva sempre per gli urti, scriviamo allora la quantita’ di moto prima e dopo l’urto

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\textbf{p}}_{prima}=m_1\overrightarrow{\textbf{v}}_1+m_2\overrightarrow{\textbf{v}}_2}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\textbf{p}}_{dopo}=(m_1+m_2)\overrightarrow{V}_C}}$ .

Dopo l’urto le due masse formano un sistema (m₁ + m₂) con velocita’ comune V_C

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\textbf{p}}_{prima}=\overrightarrow{\textbf{p}}_{dopo}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{m_1\overrightarrow{\textbf{v}}_1+m_2\overrightarrow{\textbf{v}}_2=(m_1+m_2)\overrightarrow{V}_C}}$ .

Da questa ci ricaviamo la velocita’ V_C

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{V}_C=\frac{m_1\overrightarrow{\textbf{v}}_1+m_2\overrightarrow{\textbf{v}}_2}{m_1+m_2}}}$ .

L’energia cinetica prima dell’urto e’ maggiore di quella dopo e l’energia persa e’ andata in calore. Invece l’energia potenziale e’ rimasta la stessa. Vogliamo calcolarci il calore che si produce

Q = – ΔE_C Il segno meno e’ presente perche’ facciamo E_C1 – E_C2

Consideriamo il caso unidimensionale che e’ quello che capita negli esercizi

Prima dell’urto m₂ e’ ferma

Dopo l’urto il complesso delle due masse si

muove con velocità comune V.

Scriviamo la quantita’ di moto prima e dopo l’urto, tenendo presente che in una dimensione non serve usare i vettori dato che vengono a coincidere con la loro proiezione lungo quell’asse.

$\displaystyle{\mathbf{\textbf{p}_{prima}=m_1v_0}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\textbf{p}_{dopo}=(m_1+m_2)V}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\textbf{p}_{prima}=\textbf{p}_{dopo}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{m_1v_0=(m_1+m_2)V}}$ .

Ricaviamo la velocita’ comune V

$\displaystyle{\mathbf{V=\frac{m_1}{m_1+m_2}\,v_0}}$ .

Vediamo ora l’energia cinetica che sappiamo non si conserva

$\displaystyle{\mathbf{E_{Cprima}=\frac{1}{2}\,m_1v_0^2}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{E_{Cdopo}=\frac{1}{2}\,(m_1+m_2)V^2}}$ .

Sostituiamo a V l’espressione trovata prima

$\displaystyle{\mathbf{E_{Cdopo}=\frac{1}{2}\,(m_1+m_2)\,\frac{m_1^2}{(m_1+m_2)^2}\,v_0^2=\frac{1}{2}\,\frac{m_1^2}{m_1+m_2}\,v_0^2}}$ .

Il calore sviluppato a causa dell’urto sara’ allora

$\displaystyle{\mathbf{E_{Cprima}-E_{Cdopo}=\frac{1}{2}\,m_1v_0^2-\frac{1}{2}\,\frac{m_1^2}{m_1+m_2}\,v_0^2=\frac{1}{2}\,\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}\,v_0^2}}$ .

Questo tipo di urto viene usato per misurare la velocita’ dei proiettili con il pendolo balistico.

Pendolo balistico

E’ formato da un blocchetto di legno appeso ad un filo. Sparando sul blocchetto il pendolo prende ad oscillare, dalle sue oscillazioni si risale alla velocita’ del proiettile. E’ l’angolo di apertura massima ad essere legato alla velocita’ del proiettile.

Dobbiamo analizzare tre situazioni

Situazione A : prima dell’urto

Situazione B : subito dopo l’urto

Situazione C : situazione finale

Scriviamo le quantita’ di moto per le tre situazioni

$\displaystyle{\mathbf{p_{prima}=m_1v_0\hspace{2cm}p_{dopo}=(m_1+m_2)V\hspace{2cm}p_{finale}=0}}$ .

La quantita’ di moto alla fine , nel punto corrispondente a θ_max e’ nulla perche’ le masse sono ferme, e’ il punto di inversione del moto.

Applichiamo la conservazione della quantita’ di moto tra A e B

$\displaystyle{\mathbf{m_1v_0=(m_1+m_2)V}}$ .

Da questa possiamo ricavare v₀

$\displaystyle{\mathbf{v_0=\frac{m_1+m_2}{m_1}\,V}}$ .

Per ricavarci V ci servono considerazioni di tipo energetico, andiamo allora a scrivere l’energia meccanica nelle tre situazioni. Prendiamo la quota di partenza come quota di riferimento per l’energia meccanica

$\displaystyle{\mathbf{E_{mprima}=\frac{1}{2}\,m_1v_0^2}}$ .

L’energia potenziale U non c’e’ perche’ siamo a quota di riferimento

$\displaystyle{\mathbf{E_{mdopo}=\frac{1}{2}\,(m_1+m_2)V^2}}$ .

Siamo sempre a quota di riferimento, quindi U = 0

$\displaystyle{\mathbf{E_{mfin}=(m_1+m_2)gh}}$ .

Nella situazione C il blocco si e’ alzato di quota quindi c’e’ energia potenziale, invece non c’e’ energia cinetica perche’ le masse sono ferme.

Tra i punti A e B non c’e’ conservazione di energia meccanica perche’ l’urto e’ anelastico, si sviluppa calore. Dopo l’urto, tra i punti B e C invece l’energia meccanica si conserva, se non ci sono attriti il pendolo conserva l’energia.

Poniamo allora E_mdopo = E_mfin

$\displaystyle{\mathbf{\frac{1}{2}\,(m_1+m_2)V^2=(m_1+m_2)gh}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\frac{1}{2}\,V^2=gh\hspace{1cm}\Longrightarrow\hspace{1cm} V=\sqrt{2gh}}}$ .

Dalla terza figura, situazione C, ricaviamo che h = L – Lcosθ_max e lo sostituiamo nell’ultima espressione

$\displaystyle{\mathbf{V=\sqrt{2gL(1-\cos\theta_{max})}}}$ .

Possiamo quindi esprimere v₀

$\displaystyle{\mathbf{v_0=\frac{m_1+m_2}{m_1}\,V=\frac{m_1+m_2}{m_1}\,\sqrt{2gL(1-\cos\theta_{max})}}}$ .

Abbiamo cosi’ trovato la velocita’ del proiettile in funzione dell’angolo θ_max raggiunto dal pendolo.

Nella prossima lezione continuiamo lo studio degli urti vedendo l’urto elastico.

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Urto perfettamente anelastico

Pendolo balistico

Prossima lezione Urto elastico