Conservazione dell’energia

Vogliamo applicare al campo elettrico la conservazione dell’energia, prendiamo allora la nostra solita carica sorgente +Q e la mettiamo in un punto dello spazio.

Sappiamo che essa genera tutto intorno a se un campo elettrico. Poniamo in questo campo una carica +q. Cerchiamo di avvicinare +q alla carica sorgente +Q, ad esempio portandola dal punto A al punto B.

Questo non avviene di certo in maniera spostanea visto che le cariche hanno lo stesso segno.

Per portare la carica +q dal punto A al punto B dobbiamo intervenire dall’esterno. Questo lo possiamo fare in due modi :

Caso 1 – Fornendo energia cinetica a +q

Tramite un impulso diamo alla particella la velocità necessaria per arrivare fino in B. Il moto di +q risulterà decelerato fino a fermarsi e poi tornerà indietro.

Caso 2 – Applicando una forza esterna

In questo caso la forza che applichiamo non è impulsiva, ma una forza che continua ad agire nel tempo in modo da spostare, molto lentamente, la particella dalla posizione a alla posizione B. Diciamo che ciò avviene tramite una successione di stati stazionari. Durante tutto il percorso la velocità è quasi nulla. Questo ci serve per non far intervenire l’energia cinetica.

Iniziamo dal Caso 1

Sulla carica +q agisce la forza elettrostatica F_eche tende ad allontanarla. Per avvicinarla a +Q gli forniamo, tramite un impulso, una velocità che chiamiamo W_A(usiamo la lettera w e non v, per la velocità, per non confonderla con il potenziale).

Scriviamo l’energia totale posseduta dalla particella nel punto A (usiamo la lettera Σ invece di E per non confondere l’energia con il campo elettrico E).

$\displaystyle{\mathbf{\Sigma_A=U_A+K_A}}$

L’energia nel punto A è formata da una parte cinetica K_Ae da una parte potenziale U_A. L’energia potenziale c’è perchè il campo elettrico ha energia potenziale essendo un campo conservativo.

$\displaystyle{\mathbf{K_A=\frac{1}{2}\, mW_A^2}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{U_A=qV_A}}$

V_Aè il liivello di potenziale nel punto A.

$\displaystyle{\mathbf{\Sigma_A=U_A+K_A=qV_A+\frac{1}{2}\, mW_A^2}}$

Dato che la forza elettrostatica è conservativa, visto che non ci sono attriti o altre forze di tipo non conservativo, l’energia si deve conservare.

$\displaystyle{\mathbf{\Sigma_A=\Sigma_B}}$

Il livello di energia nel punto A deve essere uguale a quello in B.

$\displaystyle{\mathbf{qV_A+\frac{1}{2}\, W_A^2=qV_B+\frac{1}{2}\, W_B^2}}$

Vogliamo trovare la velocità in B. Moltiplichiamo tutto per 2 e dividiamo tutto per la massa m.

$\displaystyle{\mathbf{W_B^2=\frac{2q}{m}\, (V_A-V_B)+W_A^2}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{W_B=\sqrt{\frac{2q}{m}\, (V_A-V_B)+W_A^2}}}$

Visto che c’è una radice quadrata, il radicando deve essere maggiore di zero per rimanere nel campo dei reali. Però, se V_A< V_B, può diventare negativo. Questo è proprio il nostro caso, dato che il livello di potenziale in B è maggiore di quello in A. Il potenziale aumenta mano a mano che ci avviciniamo a +Q.

V_{A –} V_Bè allora un termine negativo che, se elevato, può far diventare negativo il radicando. Se stiamo risolvendo un esercizio e ci trovaiamo davanti a questa situazione, come la interpretiamo ?.

Molto semplicemente, vuol dire che la carica +q non può arrivare fino al punto B. Con la velocità iniziale che gli abbiamo impresso non può arrivare in B.

Per sapere fino a che punto riesce ad arrivare la particella basta imporre uguale a zero la velocità finale.

Caso 2

Invece di imprimere una velocità iniziale con un impulso, applichiamo una forza esterna F_est

Abbiamo detto che vogliamo avvicinare la carica +q al punto B molto lentamente, con una velocità quasi nulla, senza accelerazione. In pratica con un moto rettilineo uniforme quasi nullo. Questo lo otteniamo con una forza esterna maggiore di un ε rispetto alla forza elettrostatica. ε è una quantità che tende a zero, possiamo allora scrivere

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{F}}_{est}=\overrightarrow{\mathbf{F}}_e}}$

Questa volta ci calcoliamo il lavoro che deve compiere la forza esterna contro la forza del campo elettrico.

Quando ci avviciniamo al punto B la forza esterna compie un lavoro positivo perchè lo spostamento avviene nel suo verso. La forza elettrica, invece, spinge nella direzione opposta, quindi compie un lavoro negativo.

$\displaystyle{\mathbf{L_{AB}^{est}=\int_A^B\overrightarrow{\mathbf{F}}_{est}\cdot d\overrightarrow{\mathbf{s}}}}$

Al posto della forza esterna mettiamo la forza elettrica e svolgiamo il prodotto scalare

$\displaystyle{\mathbf{L_{AB}^{est}=\int_A^B -F_e\, ds}}$

Facciamo la sostituzione F_e=qE

$\displaystyle{\mathbf{L_{AB}^{est}=-q\int_A^B E\, ds}}$

Quell’integrale è proprio la definizione di potenziale

$\displaystyle{\mathbf{L_{AB}^{est}=-q(V_A-V_B)=q(V_B-V_A)}}$

Dato che il potenziale nel punto B è maggiore di quello nel punto A, il lavoro è positivo. Il lavoro compiuto dalla forza elettrica sarà uguale ma opposto.