Conservazione dell’energia meccanica

Per giungere al teorema di conservazione dell’energia meccanica, quello che faremo e’ combinare il teorema del lavoro e dell’energia cinetica con la definizione di energia potenziale.

Il primo ci dice che il lavoro di tutte le forze L_tot e’ pari alla variazione di energia cinetica, quindi deve produrre una variazione della velocita’.

Consideriamo, per ora, solo forze di tipo conservativo.

L_tot,C = E_CB – E_CA questo lavoro totale e’ quello di tutte le forze conservative che concorrono alla variazione di energia cinetica. Supponiamo siano la forza peso P e la forza elastica F_el

L_tot,C = L_P + L_el = E_CB – E_CA

Tenendo conto che L_P = – ΔU^P e L_el = – ΔU^el e inoltre

ΔU = U(B) – U(A) ⇒ – ΔU = U(A) – U(B) si ha :

$\displaystyle{\mathbf{(U^P_A-U^P_B)+(U^{el}_A-U^{el}_B)=E_{CB}-E_{CA}}}$ .

Nell’espressione trovata abbiamo termini che dipendono dalla posizione iniziale A e termini che dipendono da quella finale B, i primi li portiamo tutti a sinistra dell’uguale, i secondi a destra

$\displaystyle{\mathbf{U^P_A+U^{el}_A+E_{CA}=U^P_B+U^{el}_B+E_{CB}}}$ .

Tutte le energie potenziali relative al punto A le sommiamo

$\displaystyle{\mathbf{U^P_A+U^{el}_A=U^{tot}_A}}$ .

Stessa cosa per il punto B

$\displaystyle{\mathbf{U^P_B+U^{el}_B=U^{tot}_B}}$ .

Otteniamo allora

$\displaystyle{\mathbf{U^{tot}_A+E_{CA}=U^{tot}_B+E_{CB}}}$ .

Poniamo

$\displaystyle{\mathbf{U^{tot}_A+E_{CA}=E_{m,A}\hspace{3cm}U^{tot}_B+E_{CB}=E_{m,B}}}$ .

La Em e’ un’energia mista perche’ contiene un po’ di energia cinetica e un po’ di energia potenziale. Essa e’ detta energia meccanica.

E_m,A = E_m,B Conservazione dell’energia meccanica

Nel nostro esempio abbiamo utilizzato due forze conservative, ma il discorso e’ assolutamente generale. La somma di tutte le energie potenziali e dell’energia cinetica (e’ una sola) si deve conservare nello spostamento dal punto A al punto B. Quindi i punti dello spostamento sono tutti punti per cui l’energia non cambia.

Se le forze sono conservative l’energia meccanica non cambia. L’appellativo di conservative dato alle forze vediamo ora che e’ dovuto al fatto che si conserva l’energia meccanica.

Vediamo cosa succede quando le forze non sono conservative.

Partiamo sempre dal teorema del lavoro e dell’energia cinetica, esso non distingue tra forze conservative e non conservative, vale sempre. Dividiamo il lavoro in quello delle forze conservative e quello delle forze non conservative

L_tot,C + L_NC= E_C_B – E_C_A il lavoro delle forze conservative piu’ quello delle forze non conservative e’ pari alla variazione di energia cinetica.

Procediamo analogamente a prima

( L_P + L_el + … ) + L_NC = E_CB – E_CA

( – ΔU^P – ΔU^el … ) + L_NC = E_C_B – E_CA = ΔE_C

$\displaystyle{\mathbf{L_{NC}=(\underbrace{\Delta U^P+\Delta U^{el}+ ..)}_{\Delta U}+\Delta E=\Delta U+\Delta E=\Delta E_m}}$ .

L_NC = ΔE_m = E_mB – E_mA Quindi l’energia meccanica non si conserva.

In presenza di forze non conservative, se queste compiono lavoro, si ha una variazione di energia meccanica.

Vediamo qualche esempio chiarificatore

Consideriamo la forza di attrito dinamico A_d , il lavoro di questa forza e’ < 0 allora

L < 0 ⇒ E_mB < E_mA ⇒ E_mB – E_mA < 0

Questo significa che durante il moto viene dissipata energia.

Ci sono invece forze non conservative che aumentano l’energia come ad esempio le forze esterne che compiono un lavoro > 0.

In generale L_NC = E_mB – E_mA , se le forze sono invece solo conservative E_mB – E_mA = 0 ⇒ E_mB = E_mA

Attenzione : quando l’energia non si conserva non svanisce, ma la ritroviamo sotto altre forme di energia ad esempio termica, chimica, … Ricordiamo che l’energia non si crea ne’ si distrugge, si trasforma.

Dalla prossima lezione iniziamo una serie di esempi per capire come affrontare gli esercizi utilizzando l’energia.

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Conservazione dell’energia meccanica

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