Esercizi cicli termodinamica

Esercizio 1

Una macchina termica reversibile, che utilizza un gas perfetto biatomico, è rappresentabile mediante il ciclo di figura. Calcolarne il rendimento supponendo che durante il funzionamento siano eccitati i soli gradi di libertà traslazionali e rotazionali delle molecole.

Il fatto che sono eccitati i soli gradi di libertà traslazionali e rotazionali significa che i valori dei calori specifici a pressione e volume costanti per un gas biatomico sono :

$\displaystyle{\mathbf{c_v=\frac{5}{2}\, R}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{c_p=\frac{7}{2}\, R}}$

Inoltre

$\displaystyle{\mathbf{\gamma = \frac{c_p}{c_v}=1,4}}$

Definizione di rendimento

$\displaystyle{\mathbf{\eta=\frac{L}{Q_{ass}}}}$

L è il lavoro ottenuto e lo possiamo vedere come l’area racchiusa dal ciclo.

$\displaystyle{\mathbf{L=(2V_A-V_A)(3p_A-p_a)=2V_Ap_A}}$

Q_ass è il calore assorbito dal gas. Esso assorbe calore nel tratto da A a B dove aumenta la sua pressione a volume costante. Si tratta di una trasformazione isocora nella quale la variazione del calore è :

$\displaystyle{\mathbf{dQ=nc_v d T}}$

dT > 0 ⇒ dQ > 0

Assorbe calore anche nel tratto da B a C dove aumenta il volume a pressione costante. Si tratta di una trasformazione isobara. Per il calore si ha :

$\displaystyle{\mathbf{dQ=nc_p d T}}$

dT > 0 ⇒ dQ > 0

Se il calore è positivo è assorbito dal sistema, se è negativo è ceduto dal sistema.

Se non siete convinti applicate la legge delle isocore

Se V = cost.

$\displaystyle{\mathbf{\frac{p}{T}=cost\,\,\Longrightarrow\,\, \frac{p_A}{T_A}=\frac{3p_A}{T_B}\,\,\Longrightarrow\,\,\frac{T_B}{T_A}=3\,\,\Longrightarrow\,\, T_B = 3T_a}}$

A volume costante, se aumenta la pressione aumenta la temperatura. Fate la stessa cosa per la trasformazione isobara V/T = cost. e vedete che, se aumenta il volume a pressione costante, aumenta la temperatura.

Oppure, avete presente l’equazione pV=nRT ?

Torniamo all’esercizio.

In totale per il calore assorbito si ha

$\displaystyle{\mathbf{Q_{ass}=nc_v(T_B-T_A)+nc_p(T_C-T_B)}}$

Dobbiamo eliminare le temperature. Lo facciamo tramite l’equazione dei gas perfetti.

$\displaystyle{\mathbf{pV=nRT}}$

La scriviamo per stato A

$\displaystyle{\mathbf{p_AV_A=nRT_A\,\,\Longrightarrow\,\, T_A=\frac{p_AV_A}{nR}}}$

per lo stato B

$\displaystyle{\mathbf{p_BV_B=nRT_B\,\,\Longrightarrow\,\, T_B=\frac{p_BV_B}{nR}}}$

Dove p_B= 3p_A e V_B= V_A

$\displaystyle{\mathbf{T_B=\frac{3p_AV_A}{nR}}}$

e per lo stato C

$\displaystyle{\mathbf{p_CV_C=nRT_C}}$

Tenendo conto che

$\displaystyle{\mathbf{p_C=p_B=3p_A}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{V_C=2V_A}}$

Diventa

$\displaystyle{\mathbf{3p_A2V_A=nRT_C\,\,\Longrightarrow\,\,T_C=\frac{3p_A2V_A}{nR}}}$

Sostituiamo il tutto in Q_ass

$\displaystyle{\mathbf{Q_{ass}=nc_v\Bigl (\frac{3p_AV_A}{nR}\, -\, \frac{p_AV_A}{nR}\Bigr )+nc_p\Bigl (\frac{3p_A2V_A}{nR}\, -\,\frac{3p_AV_A}{nR}\Bigr )}}$

Semplifichiamo n, numero delle moli, facciamo le differenze e mettiamo in evidenza

$\displaystyle{\mathbf{Q_{ass}=\frac{p_AV_A}{R}\Bigl (2c_v+3c_p\Bigr )}}$

Sostituiamo ai calori specifici a volume e a pressione costante i loro valori, validi per un gas biatomico.

$\displaystyle{\mathbf{Q_{ass}=\frac{p_AV_A}{R}\Bigl (5R+\frac{21}{2}\, R\Bigr )}}$

Infine calcoliamo il rendimento

$\displaystyle{\mathbf{\eta=\frac{L}{Q_{ass}}=\cfrac{2p_AV_A}{\cfrac{p_AV_A}{R}\Bigl (5R+\cfrac{21}{2}\, R\Bigr )}=0,13}}$

(R si semplifica).

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