Moto circolare

Iniziamo lo studio dei moti circolari dal caso generale. Il moto circolare uniforme ( quello che avviene con il modulo della velocita’ costante ) lo studieremo come caso particolare.

Nel moto circolare la traiettoria seguita dal punto materiale e’ una circonferenza

0 e’ l’origine

A e’ l’origine degli archi s

S e’ lo spazio percorso ( arco di circonferenza )

Esiste una relazione che lega l’arco all’angolo

S = R Φ

Dobbiamo pero’ tenere conto che se il punto si sposta, s e Φ dipendono dal tempo. Sarebbe giusto scrivere

S(t) = R Φ(t)

Se S e’ lo spazio percorso, la velocita’ sara’ la sua derivata nel tempo

$\displaystyle{\mathbf{v = \frac{ds}{dt} = R\frac{d\Phi}{dt}}}$

Introduciamo ora una nuova grandezza fisica che ci indica come varia l’angolo Φ nel tempo.

$\displaystyle{\mathbf{\omega = \frac{d\Phi}{dt}}}$ .

Questa grandezza ω viene detta velocita’ angolare. E’ la velocita’ con cui l’angolo varia nel tempo.

Possiamo esprimere V tramite ω

$\displaystyle{\mathbf{v = R\frac{d\phi}{dt} = \omega R}}$

Dato che Φ si misura in radianti, ω si misura in radianti / secondo (rad/s).

Perche’ introdurre questa nuova grandezza fisica ?. Per capirlo consideriamo un corpo rigido in rotazione intorno ad un asse

Un punto P₁ interno al corpo descrive una circonferenza di raggio r₁ con velocita’ V₁, un altro punto P₂ posto a distanza diversa dall’asse, descrive un’altra circonferenza con raggio r₂ e con velocita’ V₂ .Il punto P₂ deve essere piu’ veloce di P₁ dato che percorre una circonferenza piu’ grande, Ogni punto del corpo ha una sua velocita’ V. Se invece delle circonferenze, considero gli angoli,dato che il numero di giri al secondo e’ uguale per tutti i punti, avro’ che ω risulta uguale per tutti i punti del corpo. La velocita’ angolare e’ sempre la stessa. Ci sara’ molto utile nello studio dei corpi rigidi.

La relazione V = ω R ci dice che la velocita’ periferica varia con il raggio.

ω e’ unica per tutti i punti.

Riprendiamo il moto circolare e lo studiamo proprio a partire dalle relazioni

S(t) = Φ(t) R

V = ω R

Vogliamo calcolarci l’accelerazione, anzi le accelerazioni perche’ sappiamo che dove c’e’ una curva l’accelerazione ha due componenti, una normale e una tangenziale alla curva, in questo caso circonferenza.

$\displaystyle{\mathbf{a_t = \frac{dv}{dt}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{a_n = \frac{v^2}{\rho} =\frac{v^2}{R}}}$

Questa volta il raggio di curvatura e’ costante e pari a R, raggio della circonferenza.

Se non capite queste ultime relazione tornate a Moti con traiettoria giacente in un piano

Iniziamo da a_t

$\displaystyle{\mathbf{a_t = \frac{dv}{dt} = \frac{d(R\omega)}{dt} = R \frac{d\omega}{dt}}}$

A questo punto dobbiamo introdurre ancore una nuova grandezza, l’accelerazione angolare α

$\displaystyle{\mathbf{\alpha = \frac{d\omega}{dt}}}$

ω si misura in rad/s quindi α si misura in rad/s². a_t la esprimiamo

$\displaystyle{\mathbf{a_t = \alpha R}}$

Ora vediamo a_n

$\displaystyle{\mathbf{a_n = \frac{v^2}{R} = \frac{\omega^2 R^2}{R} = \omega^2 R}}$

L’accelerazione a sara’ data da :

$\displaystyle{\mathbf{a = \sqrt{a_t^2 + a_n^2} = R\sqrt{\alpha^2 + \omega^2}}}$

Quello che abbiamo trovato e’ :

Φ(t) s(t) = Φ(t) R
$\displaystyle{\mathbf{\omega=\frac{d\phi}{dt}}}$ . V = ω R
$\displaystyle{\mathbf{\alpha = \frac{d\omega}{dt}}}$ . a_t = α R e a_n = ω² R

Abbiamo trovato tutte le grandezza cinematiche, pero’ abbiamo un grosso problema, sono tutte grandezze scalari, a noi servono anche i vettori. Ora tentiamo di vettorizzarle.

V = ω R sappiamo che questo e’ il modulo del nostro vettore V, come deve essere V vettore perche’ quello sia il suo modulo ?. Intanto in luogo di R consideriamo il raggio vettore r e poniamo

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{v} = \overrightarrow{\omega}\times \overrightarrow{r}}}$ ..Prodotto vettoriale

Affinche’ il modulo di $\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{v} = \overrightarrow{\omega}\times \overrightarrow{r}}}$ . sia proprio V = ω R , l’angolo tra il vettore ω e il vettore r deve essere 90⁰ , solo cosi’ nel modulo non viene a comparire sinα (sin90⁰ = 1). Inoltre, dato che V e r sono nello stesso piano, ω sara’ perpendicolare al piano di V e r e con il verso uscente dal piano, per la regola della mano destra ( V dito medio, ω pollice, r indice).

Questa e’ la rappresentazione di un vettore uscente dal piano o entrante.

Stabilita la velocita’ vettoriale possiamo calcolarci l’accelerazione $\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{a}}}$ , sempre per derivazione.

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{a} = \frac{d\overrightarrow{v}}{dt} = \frac{d}{dt}(\overrightarrow{\omega}\times \overrightarrow{r}) = \frac{d\overrightarrow{\omega}}{dt}\times \overrightarrow{r} + \frac{d\overrightarrow{r}}{dt}\times \overrightarrow{\omega}}}$

Sia ω che r vettori, sono soggetti a derivazione perche’ possono variare con il tempo.

Dato che :

$\displaystyle{\mathbf{\frac{d\overrightarrow{\omega}}{dt} = \overrightarrow{\alpha}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\frac{d\overrightarrow{r}}{dt} = \overrightarrow{v} = \overrightarrow{\omega}\times\overrightarrow{r}}}$

Avremo :

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\alpha}\times\overrightarrow{r} + \overrightarrow{\omega}\times(\overrightarrow{\omega}\times\overrightarrow{r})}}$

La cosa si complica ulteriormente perche’ dobbiamo ricordare una formula legata al prodotto vettoriale :

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{A}\times(\overrightarrow{B}\times\overrightarrow{C})=\overrightarrow{B}(\overrightarrow{A}\cdot\overrightarrow{C}) - \overrightarrow{C}(\overrightarrow{A}\cdot\overrightarrow{B})}}$

Applicata al nostro caso diventa :

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\alpha}\times\overrightarrow{r} + \overrightarrow{\omega}(\overrightarrow{\omega}\cdot\overrightarrow{r}) - \overrightarrow{r}(\overrightarrow{\omega}\cdot\overrightarrow{\omega})}}$

Ricordiamoci che x sta’ per prodotto vettoriale e • sta’ per prodotto scalare, quindi dato che ω e r sono a 90⁰, il loro prodotto scalare e’ nullo, mentre il prodotto scalare di ω per se stesso e’ pari a ω²

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\omega}\cdot\overrightarrow{r}=\omega r \cos \alpha = \omega r \cos 90 = \omega r 0 = 0}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\omega}\cdot\overrightarrow{\omega}=\omega\omega\cos 0 =\omega^2}}$

Finalmente possiamo esprimere l’accelerazione

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\alpha}\times\overrightarrow{r}-\omega^2\overrightarrow{r}}}$

L’accelerazione si compone di due parti, la prima e’ tangenziale e la seconda e’ normale, inoltre avendo il segno negativo e’ contraria al raggio. Allora a_n e’ diretta verso il centro, e’ centripeta.

Nella prossima lezione studieremo il moto circolare uniforme come caso particolare di quanto visto ora. Vai a Moto circolare uniforme

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