Moto parabolico

Nella lezione precedente abbiamo visto il moto di un oggetto lanciato verticalmente, abbiamo concluso che si tratta di un moto rettilineo uniformemente accelerato. L`accelerazione e’ g, accelerazione di gravita’ pari a circa 9,81m/s². Ora vogliamo studiare il moto parabolico.

Ora, lanciamo sempre un oggetto, ma con un certo angolo rispetto all’asse x. Questo angolo α viene detto alzo. E’ il caso tipico del cannone.

V₀ e’ la velocita’ iniziale di lancio. Questa volta lo spazio percorso e’ sia lungo x che lungo y, l’oggetto si alza di quota e avanza anche lungo x. Quella che descrive l’oggetto lanciato e’ una parabola. Provate a lanciare qualche cosa con un certo angolo rispetto al pavimento e la vedete. Questa parabola varia al variare dell’angolo α. Importanti, in questo moto sono l’altezza massima raggiunta e la gittata, ossia quanto arriva lontano, o piu’ semplicemente dove atterra.

Questa volta lo studio e’ un po’ piu’ complesso perche’ dobbiamo considerare non semplicemente la velocita’ , l’accelerazione e lo spazio, ma dobbiamo studiare le componenti di queste grandezze lungo i due assi. Il moto non avviene piu’ lungo un solo asse, ma in un piano. Queste componenti vengono anche dette ombre.

Il moto parabolico è un pò più complesso del semplice moto di caduta.

E’ importante notare che le componenti si comportano in maniera completamente autonoma rispetto al moto del punto, ossia mentre il punto descrive una parabola, le sue componenti descrivono un loro moto lungo gli assi x e y.

Mentre il punto P descrive la parabola, la componente x ha un moto rettilineo e la componente y ha prima un moto verso l’alto e poi verso il basso, con un inversione del moto all’apice della parabola.

Suddividiamo allora il moto del punto nelle sue componenti x e y, di conseguenza dobbiamo scomporre anche la velocita’ nelle componenti V_x e V_y e anche l’accelerazione in a_xe a_y .

Stabilito tutto questo iniziamo lo studio. Da dove ? Da quello che conosciamo, ossia che e’ un moto che avviene con accelerazione costante, che si tratta di g, accelerazione di gravita’, che e’ diretta verso il basso e che vale circa 9,81 m/s². Infatti, una volta lanciato, l’oggetto si viene a trovare sotto l’azione della gravita’ che tende a riportarlo in basso, questa volta pero’ non nel punto da cui era partito dato che aveva un angolo iniziale.

Questa accelerazione ha componente solo lungo l’asse y visto che e’ diretta verso il centro della terra. Non ha componente x.

a_x = 0

a_y = – g il meno e’ dovuto al fatto che g e’ discorde con il nostro asse y

Dallo studio del moto uniformemente accelerato (o ritardato) sappiamo che la velocita’ e’ ottenuta per integrazione dell’accelerazione e che e’ pari a

V = V₀ + a t considerando t₀ = 0

Nel nostro caso pero’ V va decomposta in V_x e V_y quindi dobbiamo decomporre anche la velocita’ iniziale in V_0x e V_0y

Avremo allora che

V_0x = V₀ cosα

V_0y = V₀ senα

Quindi

V_x = V_0x + a_x t = V₀ cosα visto che a_x = 0

V_y = V_oy + a_y t = V₀ senα – g t visto che a_y = – g

Siamo arrivati a :

$\displaystyle{\mathbf{a_x = 0 \Longrightarrow v_x = v_0\cos \alpha}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{a_y = -g \Longrightarrow v_y = v_0\sin \alpha - gt}}$

Per avere i moti componenti, ossia x e y dobbiamo integrare di nuovo. Partendo da

$\displaystyle{\mathbf{v = \frac{dx}{dt}}}$

come abbiamo gia’ fatto mille volte precedentemente

$\displaystyle{\mathbf{x - x_0 = \int_{t_0}^{t}v_0\cos \alpha \,dt = \cos \alpha \int_{t_0}^t{t}\,dt = v_0 \cos \alpha (t - t_0)}}$

Ponendo x₀ = 0 perche’ partiamo dall’origine e t₀ = 0 perche’ iniziamo l’osservazione in quell’istante

$\displaystyle{\mathbf{x = v_0 t \cos \alpha}}$

Procedendo analogamente per y

$\displaystyle{\mathbf{y = \int_{t_0}^{t}(v_0 \sin \alpha- gt)\,dt = \int_{t_0}^{t}v_0 \sin \alpha\,dt - \int_{t_0}^{t} gt\,dt = v_0 t \sin \alpha - \frac{1}{2} g t^2}}$

Come al solito abbiamo posto t₀ = 0 e X₀ = 0, cosα e senα li abbiamo portati fuori dagli integrali perche’ non dipendono dal tempo sono delle costanti.

Ricapitoliamo

Componenti x	Componenti y
a_x = 0	a_y = – g
v_x = v₀ cosα	v_y = v₀ senα – gt
x = v_ot cosα	y = v₀tsenα-1/2 gt²

La componente x del moto parabolico descrive un moto rettilineo a velocita’ costante

La componente y del moto parabolico descrive un moto uniformemente accelerato con accelerazione -g.

Vediamo ora come trovare l’altezza massima raggiunta, h_max e la gittata.

Quando l’oggetto lanciato arriva all’altezza massima non si annulla la velocita’ come nel caso del lancio verso l’alto senza angolo iniziale, ossia verticale

Pero’ la velocita’ ha due componenti. Prima di h_max l’oggetto sale e si sposta in avanti, quindi ha una velocita’ ascensionale. Dopo h_max inizia a scendere. Allora la componente V_x rimane sempre la stessa, mentre la V_y si inverte, prima di h_max e’ positiva, dopo e’ negativa e in h_maxe’ nulla. La condizione da imporre per sapere quando e’ all’altezza massima e’ che

V_y = 0

$\displaystyle{\mathbf{v_0 t \sin \alpha - g t = 0 \Longrightarrow v_0 \sin \alpha = g t \Longrightarrow t = \frac{v_0 \sin \alpha}{g}}}$

In questo modo abbiamo trovato il tempo per raggiungere h_max , sostituendolo in y troviamo l’altezza massima

$\displaystyle{\mathbf{ t = \frac{v_0 \sin \alpha}{g}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{y = v_0 t \sin \alpha - \frac{1}{2} g t^2}}$

Sostituiamo

$\displaystyle{\mathbf{y = h = v_0 \frac{v_0 \sin \alpha}{g} \sin \alpha - \frac {1}{2}\left(\frac{v_0\sin \alpha}{g}\right)^2 = \frac{1}{2} \frac{v_0^2\sin^2 \alpha}{g}}}$

Questa e’ h_max

Per trovare la gittata qual’e’ la condizione da imporre ? Cosa succede quando tocca terra ? La sua velocita’ e’ nulla ? NO !! Arriva con una certa velocita’, quello che si annulla e’ y perche’ arriva a quota zero. Quindi questa volta imponiamo che

$\displaystyle{\mathbf{y= v_0 t \sin \alpha -\frac{1}{2} g t^2 = 0 \Longrightarrow t(v_0\sin \alpha -\frac{1}{2} g t ) = 0}}$

Questa mi da’ due soluzioni

t = 0

$\displaystyle{\mathbf{t = 2\frac{v_0\sin \alpha}{g}}}$

ed e’ giusto perche’ in due punti l’oggetto tocca terra, all’inizio e alla fine. Questo trovato e’ il tempo di volo complessivo, notare che e’ il doppio del tempo di salita trovato prima. Per calcolare la gittata, spesso indicata con L, basta mettere questo tempo di volo totale nell’equazione della x

$\displaystyle{\mathbf{x = v_0 t\cos \alpha}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{t = 2\frac{v_0\sin \alpha}{g}}}$

Sostituiamo

$\displaystyle{\mathbf{x = L = v_0 \frac{2 v_0\sin \alpha}{g}\cos \alpha = v_0^2\frac{2\cos \alpha \sin \alpha}{g} =v_0^2\frac{\sin 2\alpha}{g}}}$

Abbiamo applicato la formula trigonometrica sen2α = 2senαcosα

Attenzione : non sempre il tempo totale e’ il doppio del tempo per raggiungere h_max, lo e’ solo quando la quota di partenza e’ uguale a quella di arrivo.

La gittata dipende da V₀ e dall’angolo α . Per variare la gittata, mantenendo costante la v_0, posso agire sull’angolo.

Dato che senα e’ massimo a 90⁰, ne deduco che sen2α e’ massimo a 45⁰. La gittata massima si ha per α = 45⁰ e L assume il valore

$\displaystyle{\mathbf{L = \frac{v_0^2}{g}}}$

Se riporto in un grafico L in funzione di α

noto che α = 45⁰ e’ un asse di simmetria, ossia quello che sta’ a sinistra e’ pari pari quello che sta’ a destra, quindi un lancio con α = 60⁰ ha la stessa gittata di uno con α = 40⁰.

Prossima lezione Moto armonico