Accelerazione

E’ un’altra grandezza cinematica, per definirla consideriamo un punto materiale che si sposta lungo una traiettoria da P₁ a P₂

Le velocita’ nei punti P₁ e P₂ sono certamente diverse perche’ , se anche fossero uguali in modulo, non lo sono certamente in direzione e verso. Prendiamo i due vettori velocita’ e disegniamoli con l’origine in comune

$\displaystyle{\mathbf{\Delta{\overrightarrow{v}}=\overrightarrow{v_2}-\overrightarrow{v_1}}}$

Se ricordate la teoria dei vettori, la differenza è data dalla diagonale secondaria del parallelogramma.

Ci interessa considerare in quanto tempo avviene la variazione ΔV, ossia consideriamo

$\displaystyle{\mathbf{\frac{\Delta{\overrightarrow{v}}}{\Delta{t}}}}$

Questa quantita’ la chiamiamo accelerazione

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{a}=\frac{\Delta{\overrightarrow{v}}}{\Delta{t}}}}$

Procedendo identicamente a quanto fatto per la velocita’, introduciamo un’accelerazione istantanea

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{a}=\lim_{\Delta{t}\rightarrow \ 0}\frac{\Delta{\overrightarrow{v}}}{\Delta{t}}=\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}}}$

L’accelerazione e’ la derivata della velocita’, ma la velocita’ a sua volta, abbiamo visto essere la derivata della posizione, quindi

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{a}=\lim_{\Delta{t}\rightarrow \ 0}\frac{\Delta{\overrightarrow{v}}}{\Delta{t}}=\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}=\frac{d}{dt}\frac{d\overrightarrow{r}}{dt}=\frac{d^2\overrightarrow{r}}{dt^2}}}$

L’accelerazione la possiamo vedere come derivata prima della velocita’ o come derivata seconda della posizione.

Scomponendo i vettori velocita’ e posizione secondo gli assi cartesiani, sempre analogamente a quanto fatto per la velocita’ vedi Velocita’ teoria

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{v}=v_x\hat{i}+v_y\hat{j}+v_z\hat{k}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{r}=x(t)\hat{i}+y(t)\hat{j}+z(t)\hat{k}}}$ .

Possiamo porre

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{a}=\frac{d}{dt}(v_x(t)\hat{i}+v_y(t)\hat{j}+v_z(t)\hat{k})=\frac{d^2}{dt^2}(x(t)\hat{i}+y(t)\hat{j}+z(t)\hat{k})}}$

Dato che i versori i, j, k sono costanti (in questo caso) possiamo portarli fuori dalla derivazione

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{a}=\frac{dv_x}{dt}\hat{i}+\frac{dv_y}{dt}\hat{j}+\frac{dv_z}{dt}\hat{k}}}$ o anche $\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{a}=\frac{d^2 x}{dt^2}\hat{i}+\frac{d^2 y}{dt^2}\hat{j}+\frac{d^2 z}{dt^2} \hat{k}}}$

Ricordando per l’ennesima volta che ogni vettore puo’ essere decomposto lungo gli assi x, y, z tramite i versori

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{a}=a_x\hat{i}+a_y\hat{j}+a_z\hat{k}}}$

e dato che la scomposizione e’ unica, ne deriva che

$\displaystyle{\mathbf{a_x=\frac{dv_x}{dt}=\frac{d^2 x}{dt^2}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{a_y=\frac{dv_y}{dt}=\frac{d^2 y}{dt^2}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{a_z=\frac{dv_z}{dt}=\frac{d^2 z}{dt^2}}}$ .

Dimensioni fisiche

$\displaystyle{\mathbf{[a]=\frac{[\Delta{v}]}{[\Delta{t}]}=\frac{[L T^-1}{[T]}=[L T^-2]}}$ unita’ di misura m/s².

Esempio

Dato il raggio vettore

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{r}(t) = (5 t^2 + 6 t + 10) \hat{i} + (8 t^2 +12 ) \hat{y} +3 \hat{k}}}$

Per trovare la velocita’ deriviamo le componenti del raggio vettore

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{v}(t) = (10 t + 6 ) \hat{i} + (16 t ) \hat{y} + 0}}$

Per trovare l’accelerazione occorre derivare ancora

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{a}(t) = 10 \hat{i} + 16 \hat{y}}}$

se in luogo di r ho l’accelerazione, per risalire alla velocita’ dovro’ integrare.

Ora che abbiamo definito le grandezze cinematiche, possiamo passare allo studio dei moti, iniziando dal Moto rettilineo