Processi d’urto

Studiamo ora dei processi molto importanti, gli urti.

Consideriamo due masse M₁ e M₂destinate a scontrarsi

L’urto c’e’ perche’ verranno ad occupare la stessa posizione nello stesso tempo.

Si usa indicare con la lettera v piccola le velocita’ prima dell’urto e con la lettera V grande le velocita’ dopo l’urto.

A causa dell’urto le velocita’ subiscono un netto cambiamento. Prendiamo in considerazione prima la massa M₁

La repentina variazione della velocita’ di M₁ e’ dovuta all’impulso datole da M₂ .

L’impulso e’ una forza che dura un certo tempo t, il tempo dell’urto e’ un tempo molto breve che chiamiamo ε

Se ricordiamo la definizione di impulso (l’integrale della forza nel tempo), vediamo che esso e’ l’area sottesa dalla curva. Non dobbiamo dimenticare che c’e’ anche l’impulso delle forze esterne, supponiamo che sia presente l’attrito Ad

A_d e’ una forza costante nel tempo e di intensita’ molto minore delle forze interne che intervengono durante l’urto. L’impulso delle forze esterne e’ trascurabile rispetto a quello delle forze interne.

Applichiamo il teorema dell’impulso e della variazione della quantita’ di moto

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{I}^{est}+\overrightarrow{I}_{1,2}^{int}=\Delta\overrightarrow{\textbf{p}}_1}}$ .

Trascurando l’impulso delle forze esterne

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{I}_{1,2}^{int}=\Delta\overrightarrow{\textbf{p}}_1}}$ .

Inoltre sappiamo che

$\displaystyle{\mathbf{\Delta\overrightarrow{\textbf{p}}_1=m_1\overrightarrow{V}_1-m_1\overrightarrow{\textbf{v}}_1}}$ .

Facciamo una piccola puntualizzazione, durante il suo moto la massa M₁ diminuisce la sua velocita’ a causa dell’attrito. A_d e’ una forza esterna al sistema delle due masse ed e’ sempre presente durante tutto il moto. La forza interna, invece, dura pochissimo, si esaurisce dopo il tempo ε dell’urto. La forza interna nasce al momento dell’urto e svanisce quando i corpi si distaccano e perdura solo il tempo in cui i due corpi restano attaccati. In questo tempo si sviluppano forze violentissime la cui durata dipende dall’elasticita’ delle due masse.

Per la massa M₂ valgono considerazioni analoghe

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{I}_{2,1}^{int}=\Delta\overrightarrow{\textbf{p}}_2=m_2\overrightarrow{V}_2-m_2\overrightarrow{\textbf{v}}_2}}$ .

Ora studiamo il sistema delle due masse.

Questi due impulsi interni non li conosciamo, sappiamo soltanto che sono uguali ed opposti. Per lo studio applichiamo la meccanica dei sistemi.

Il teorema dell’impulso e della variazione della quantita’ di moto di un sistema ci dice che le forze interne non vanno considerate, sono solo le forze esterne che producono la variazione della quantita’ di moto.

$\displaystyle{\mathbf{Se\;F^{est}=0\Longrightarrow \Delta p=0\Longrightarrow p=cost}}$ .

Nel nostro sistema in cui e’ presente Ad come forza esterna

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{I}^{est}=\int_{t}^{t+\epsilon}\overrightarrow{A}_d\,dt=\overrightarrow{A}_d\,\epsilon \simeq 0}}$ .

Se l’impulso della forza esterna e’ trascurabile, la variazione della quantita’ di moto del sistema e’ nulla e

p_sis = cost

non c’e’ variazione di quantita’ di moto prima e dopo l’urto. La p_sis e’ la quantita’ di moto del centro di massa, allora la quantita’ di moto del centro di massa prima e dopo l’urto non cambia, il centro di massa si muove con velocita’ costante.

$\displaystyle{\mathbf{m_1\overrightarrow{\textbf{v}}_1+m_1\overrightarrow{\textbf{v}}_2=m_1\overrightarrow{V}_1+m_2\overrightarrow{V}_2}}$ .

La quantita’ di moto del sistema si conserva in tutti gli urti, questo vale sempre.

Tipi di urti

Elastico : un urto si dice elastico quando l’energia meccanica posseduta dal sistema dei corpi che partecipano all’urto non varia in conseguenza dell’urto. Questo si esprime dicendo che l’energia cinetica prima dell’urto e’ uguale a quella dopo. L’energia potenziale non viene presa in considerazione perche’ rimane uguale prima e dopo l’urto, durante l’urto i corpi non variano la loro posizione e l’energia potenziale immediatamente prima e subito dopo e’ la stessa.

Anelastico : un urto e’ anelastico se si ha variazione di energia cinetica del sistema.

Perfettamente anelastico : si ha quando, dopo l’urto i corpi procedono insieme, diventano un tutt’uno.

Il centro di massa del sistema formato dai corpi che si urtano non e’ disturbato nel suo moto per effetto dell’urto, infatti le forze che determinano il processo sono forze interne. Se non ci sono forze esterne, come generalmente si puo’ supporre, il moto del centro di massa e’ rettilineo uniforme.

In tutti gli urti

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{I}^{est}=0\hspace{0,3cm}\Longrightarrow\hspace{0,3cm}\Delta\overrightarrow{\textbf{p}}_{sis}=0\hspace{0,3cm}\Longrightarrow\hspace{0,3cm}\overrightarrow{\textbf{p}}_{prima}=\overrightarrow{\textbf{p}}_{dopo}}}$ .

L’energia meccanica E_m si conserva solo negli urti elastici

E_m = E_c + U

Subito prima dell’urto e subito dopo la posizione resta invariata, quindi varia solo E_c , l’energia cinetica che si ridistribuisce tra le velocita’, le velocita’ subito prima e subito dopo l’urto sono diverse.

Nell’urto perfettamente anelastico i corpi si fondono e procedono insieme, si muovono con la stessa velocita’.

Negli urti elastici si conserva l’energia cinetica, non delle singole particelle, ma del sistema complessivo.

Iniziamo lo studio dei vari tipi di urti

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