Forze di reazione vincolare

Studiamo ora delle forze che nascono quando un corpo è vincolato, ossia quando il contatto con un altro corpo non gli permette di spostarsi in ogni direzione. Le forze che nascono sono dette forze di reazione vincolare.

Abbiamo visto che se lasciamo un corpo libero di cadere, esso viene attratto verso il basso, verso il centro della terra. Se invece lo poggiamo ad esempio su di un tavolo, anche se rimane soggetto alla forza peso, non cade piu’. Questo perche’ il tavolo lo sostiene con una forza che si oppone alla forza peso. Il tavolo rappresenta un vincolo e la sua reazione e’ detta reazione vincolare.

Il corpo si trova in equilibrio sotto l’azione della forza peso e della reazione vincolare Rn, Questa reazione e’ normale alla superficie di contatto ed e’ distribuita su tutta l’area di contatto,noi la schematizziamo in un punto.

Ma vediamo bene cosa succede, applicando il secondo principio della dinamica dobbiamo prima calcolare la risultante delle forze applicate al corpo e poi, se tale risultante e’ diversa da zero, possiamo sapere se il corpo subisce un’accelerazione. Se ad esempio abbiamo P = 200N e Rn = 100N avremo 200 – 100 = 100N, ossia una forza di 100N verso il basso. In pratica significa che il corpo rompe il tavolo, il vincolo e cade. La reazione del vincolo deve essere almeno pari alla forza peso, allora la forza risultante e’ nulla e non c’e’ accelerazione. E se la Rn e’ > di P ?. Se Rn = 100N e P = 50N, la differenza pari a 50N sarebbe diretta verso l’alto e la massa dovrebbe salire. Questo, ovviamente non accade, la reazione del vincolo non e’ mai in eccesso, e’ commisurata alla forza peso, la pareggia per avere l’equilibrio. L’equilibrio, in questo caso la quiete, e’ la situazione cui i sistemi tendono perche’ e’ quella energeticamente vantaggiosa.

Applicando allora il secondo principio della dinamica avremo :

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Proiettiamo la relazione lungo l’asse Y

– P + Rn = 0      P viene nagativa perche’ contraria all’asse Y

Rn = P = mg  

Prima di passare a vedere alcune situazioni tipiche degli esercizi, dobbiamo fare una considerazione importante

Nel contatto tra corpo e vincolo non troviamo solo la reazione vincolare Rn verso l’alto, per il terzo principio della dinamica e’ presente anche una reazione del corpo sul vincolo che e’ diretta in verso opposto, verso il basso, ed e’ uguale im modulo. Quella verso l’alto e’ applicata al corpo, quella verso il basso e’ applicata al vincolo.

 

Consideriamo due masse  poste sopra ad un vincolo

Notiamo che il vincolo (tavolo) non sente direttamente la massa M_A, chi sente direttamente M_A e’ M_B. P_A e P_B sono le forze peso e vengono applicate nei baricentri delle masse (piu’ avanti vedremo il concetto di baricentro, per ora e’ il punto dove consideriamo concentrata la massa). Oltre alle forze peso, sono presenti le reazioni vincolari. La forza R_A verso l’alto e’ la reazione di M_B per sostenere M_A, ovviamente, per il terzo principio della dinamica, nasce la forza R_A verso il basso che e’ la reazione di M_A su M_B. Queste due forze sappiamo essere uguali in modulo e dirette in verso opposto, ci potrebbe venire in mente di eliminarle, ma non possiamo farlo perche’ non possiamo calcolare la risultante di esse essendo applicate a corpi diversi, Una e’ applicata a M_A e l’altra a M_B.

Affinche’ la massa M_A sia in equilibrio la somma tra la R_A ad essa applicata e la P_A deve essere uguale a zero

R_A – P_A = 0   ⇒  R_A – M_A g = 0   ⇒ R_A = M_A g

Sulla massa M_B agiscono la forza R_A verso il basso, la forza peso P_B = M_B g e la reazione R_B del vincolo, verso l’alto, che deve sostenere sia R_A che P_B. Affinche’ M_B sia in equilibrio la somma di tutte queste forze deve essere nulla.

R_B – R_A -M_B g = 0   ⇒  R_B = R_A + M_B g = M_A g + M_B g = g (M_A + M_B) questa e’ la reazione che deve dare il vincolo, esso deve sostenere la somma delle masse. Attenzione a non sbagliare, La coppia delle R_A e’ dovuta al terzo principio, cosi’ come la coppia delle R_B , ma P_A o P_B con le reazioni non formano il terzo principio. Le forze peso fanno coppia con l’attrazione verso la terra.

Mettiamo ora le due masse in orizzontale sul vincolo.

La massa M_A e’ in equilibrio M_A – P₁ = 0 ⇒ R_A = P₁ ⇒ R_A = M_A g

La massa M_B e’ in equilibrio M_B – P₂ = 0 ⇒ R_B = P₂ ⇒ R_B = M_B g

 

 

Applichiamo una forza esterna che spinge le due masse. Dato che queste sono in contatto, la seconda massa reagira’ contro la spinta della prima con una forza f applicata ad M_A, per il terzo principio, anche la prima massa reagira’ con un forza f uguale e contraria e applicata a M_B. Queste reazioni sono normali alla superficie di contatto delle due masse.

Sotto la spinta della forza F le due masse prendono a muoversi con uguale accelerazione. Applichiamo il secondo principio della dinamica alle masse.

Massa M_A

Questa volta la sommatoria delle forze applicate non e’ zero perchè la massa non e’ in equilibrio, ma si sta’ muovendo, quindi la somma delle forze applicate sara’ pari alla massa per l’accelerazione subita. Scriviamo il secondo principio

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Massa M_B

Su questa la forza F non agisce, non e’ applicata ad essa, c’e’ solo la forza f della prima sulla seconda

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Normalmente, in un problema e’ data la forza esterna e si chiedono quelle interne f e l’accelerazione. Possiamo procedere in questo modo : sommiamo le due equazioni membro a membro ottenendo

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In questo modo abbiamo eliminato le forze interne f, e’ come aver eliminato la parete tra M_A e M_B e considerare una massa unica. Da questa troviamo subito l’accelerazione

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Per trovare le f basta mettere l’accelerazione trovata in una delle due equazioni di partenza (secondo principio)

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Da questa si vede che f e’ minore di F infatti la frazione delle masse e’ < 1. Le forze interne sono sempre minori della forza esterna.

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