Distribuzione continua di carica
In una distribuzione continua di carica le cariche elettriche non sono concentrate in particolari punti, ma distribuite in modo continuo lungo linee o su superfici o in volumi.
Per studiare questi casi dobbiamo introdurre, come nella meccanica, i concetti di densità lineare, superficiale e di volume
Densità lineare di carica
Consideriamo un filo lungo Ltot (L totale) sul quale è distribuita uniformemente la carica qtot . Prendiamo un pezzetto infinitesimo dL di filo contenente la carica, anche essa infinitesima, dq.
Definiamo densità lineare di carica elettrica λ
Se la carica è distribuita in maniera omogenea lungo tutto il filo
La densità è la stessa per tutto il filo. Unità di misura di λ è Coulomb/m [C/m].
Densità superficiale di carica
Allo stesso modo, se la carica è distribuita su una superficie, consideriamo un’aureola dS nalla quale è contenuta la carica dq. Si definisce densità superficiale di carica σ
Se la carica è distribuita in maniera uniforme su tutta la superficie Stot
L’unità di misura è C/m2 .
Densità volumetrica di carica
Questa volta abbiamo un solido del quale consideriamo un volumetto infinitesimo dV contenente la carica dq. Definiamo densità di carica ρ
Se la carica è distribuita uniformemente nel volume Vtot
L’unità di misura è C/m3 .
Per le quantità infinitesime di carica si ha
Lungo una linea
Su una superficie
In un volume
Vediamo come calcolare il campo elettrico per una distribuzione continua di carica.
Per sistemi discreti costituiti da cariche puntiformi, abbiamo visto che il campo elettrico dovuto alla carica i-esima è dato dalla relazione
![\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{E}}_i=K_oq_i\,\frac{(x-x_i)\hat{i}+(y-y_i)\hat{j}+(z-z_i)\hat{k}}{[(x-x_i)^2+(y-y_i)^2+(z-z_i)^2]^{\frac{3}{2}}}}}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle%7B%5Cmathbf%7B%5Coverrightarrow%7B%5Cmathbf%7BE%7D%7D_i%3DK_oq_i%5C%2C%5Cfrac%7B%28x-x_i%29%5Chat%7Bi%7D%2B%28y-y_i%29%5Chat%7Bj%7D%2B%28z-z_i%29%5Chat%7Bk%7D%7D%7B%5B%28x-x_i%29%5E2%2B%28y-y_i%29%5E2%2B%28z-z_i%29%5E2%5D%5E%7B%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%7D%7D%7D%7D&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{E}}_i=K_oq_i\,\frac{(x-x_i)\hat{i}+(y-y_i)\hat{j}+(z-z_i)\hat{k}}{[(x-x_i)^2+(y-y_i)^2+(z-z_i)^2]^{\frac{3}{2}}}}}")
Il campo elettrico totale, dovuto a tutte le n cariche puntiformi, è la sommatoria da 1 a n di Ei
![\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{E}}_{tot}=\sum_{i=1}^{n}\overrightarrow{\mathbf{E}}_i=\frac{1}{4\pi\epsilon_o} \sum_{i=1}^{n}q_i\,\frac{(x-x_i)\hat{i}+(y-y_i)\hat{j}+(z-z_i)\hat{k}}{[(x-x_i)^2+(y-y_i)^2+(z-z_i)^2]^{\frac{3}{2}}}}}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle%7B%5Cmathbf%7B%5Coverrightarrow%7B%5Cmathbf%7BE%7D%7D_%7Btot%7D%3D%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%5Coverrightarrow%7B%5Cmathbf%7BE%7D%7D_i%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B4%5Cpi%5Cepsilon_o%7D+%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7Dq_i%5C%2C%5Cfrac%7B%28x-x_i%29%5Chat%7Bi%7D%2B%28y-y_i%29%5Chat%7Bj%7D%2B%28z-z_i%29%5Chat%7Bk%7D%7D%7B%5B%28x-x_i%29%5E2%2B%28y-y_i%29%5E2%2B%28z-z_i%29%5E2%5D%5E%7B%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%7D%7D%7D%7D&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{E}}_{tot}=\sum_{i=1}^{n}\overrightarrow{\mathbf{E}}_i=\frac{1}{4\pi\epsilon_o} \sum_{i=1}^{n}q_i\,\frac{(x-x_i)\hat{i}+(y-y_i)\hat{j}+(z-z_i)\hat{k}}{[(x-x_i)^2+(y-y_i)^2+(z-z_i)^2]^{\frac{3}{2}}}}}")
Dobbiamo generalizzare questa relazione per il caso di distribuzione continua di carica.
Come sistema continuo consideriamo un volume V nel quale è distribuita uniformemente la carica q
Prendiamo un volume infinitesimo dV contenente la carica infinitesima dq posta nel punto P(x’,y’z’).
Consideriamo un punto P(x,y,z) dove andare a valutare il campo infinitesimo dE dovuto a dq. Disegniamo il raggio r’ che congiunge il volumetto dV sorgente con il punto di osservazione P di osservazione. Sappiamo disegnare dE perchè sappiamo essere radiale esterno.
![\displaystyle{\mathbf{d\overrightarrow{\mathbf{E}}=K_odq\,\frac{\overrightarrow{\mathbf{r'}}}{r'^3}=\frac{1}{4\pi\epsilon_o} \,dq\,\frac{(x-x')\hat{i}+(y-y')\hat{j}+(z-z')\hat{k}}{[(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2]^{\frac{3}{2}}}}}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle%7B%5Cmathbf%7Bd%5Coverrightarrow%7B%5Cmathbf%7BE%7D%7D%3DK_odq%5C%2C%5Cfrac%7B%5Coverrightarrow%7B%5Cmathbf%7Br%27%7D%7D%7D%7Br%27%5E3%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B4%5Cpi%5Cepsilon_o%7D+%5C%2Cdq%5C%2C%5Cfrac%7B%28x-x%27%29%5Chat%7Bi%7D%2B%28y-y%27%29%5Chat%7Bj%7D%2B%28z-z%27%29%5Chat%7Bk%7D%7D%7B%5B%28x-x%27%29%5E2%2B%28y-y%27%29%5E2%2B%28z-z%27%29%5E2%5D%5E%7B%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%7D%7D%7D%7D&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "\displaystyle{\mathbf{d\overrightarrow{\mathbf{E}}=K_odq\,\frac{\overrightarrow{\mathbf{r'}}}{r'^3}=\frac{1}{4\pi\epsilon_o} \,dq\,\frac{(x-x')\hat{i}+(y-y')\hat{j}+(z-z')\hat{k}}{[(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2]^{\frac{3}{2}}}}}")
Possiamo vedere la sorgente come formata da tante cariche puntiformi che però non sono, come nel caso discreto delle qi , ma delle cariche infinitesime dq. Il solido di volume V che emette il campo elettrico, lo analizziamo per cariche infinitesime dq. Ogni carica infinitesima genera un campo elementare dE.
Dobbiamo osservare che r’ , che unisce il punto P(x’,y’,z’) dove è posta la carica dq che stiamo analizzando con il punto di osservazione P(x,y,z), varia al variare del volumetto dV in considerazione. P(x,y,z) invece non varia, è fisso.
Per calcolare il campo Etot (totale) dobbiamo considerare i vari contributi dovuti al dq e poi farne la somma. Questa somma non è una somma discreta, una ∑ , stavolta è una somma continua, questo vuol dire che dobbiamo integrare. Dobbiamo integrare i contributi elementari.
![\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{E}}_{tot}=\int d\overrightarrow{\mathbf{E}}=\frac{1}{4\pi\epsilon_o}\int dq\,\frac{(x-x')\hat{i}+(y-y')\hat{j}+(z-z')\hat{k}}{[(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2]^{\frac{3}{2}}}}}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle%7B%5Cmathbf%7B%5Coverrightarrow%7B%5Cmathbf%7BE%7D%7D_%7Btot%7D%3D%5Cint+d%5Coverrightarrow%7B%5Cmathbf%7BE%7D%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B4%5Cpi%5Cepsilon_o%7D%5Cint+dq%5C%2C%5Cfrac%7B%28x-x%27%29%5Chat%7Bi%7D%2B%28y-y%27%29%5Chat%7Bj%7D%2B%28z-z%27%29%5Chat%7Bk%7D%7D%7B%5B%28x-x%27%29%5E2%2B%28y-y%27%29%5E2%2B%28z-z%27%29%5E2%5D%5E%7B%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%7D%7D%7D%7D&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{E}}_{tot}=\int d\overrightarrow{\mathbf{E}}=\frac{1}{4\pi\epsilon_o}\int dq\,\frac{(x-x')\hat{i}+(y-y')\hat{j}+(z-z')\hat{k}}{[(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2]^{\frac{3}{2}}}}}")
Ponendo
Diventa
![\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{E}}_{tot}=\int d\overrightarrow{\mathbf{E}}=\frac{1}{4\pi\epsilon_o}\int_V \rho dV\,\frac{(x-x')\hat{i}+(y-y')\hat{j}+(z-z')\hat{k}}{[(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2]^{\frac{3}{2}}}}}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle%7B%5Cmathbf%7B%5Coverrightarrow%7B%5Cmathbf%7BE%7D%7D_%7Btot%7D%3D%5Cint+d%5Coverrightarrow%7B%5Cmathbf%7BE%7D%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B4%5Cpi%5Cepsilon_o%7D%5Cint_V+%5Crho+dV%5C%2C%5Cfrac%7B%28x-x%27%29%5Chat%7Bi%7D%2B%28y-y%27%29%5Chat%7Bj%7D%2B%28z-z%27%29%5Chat%7Bk%7D%7D%7B%5B%28x-x%27%29%5E2%2B%28y-y%27%29%5E2%2B%28z-z%27%29%5E2%5D%5E%7B%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%7D%7D%7D%7D&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\mathbf{E}}_{tot}=\int d\overrightarrow{\mathbf{E}}=\frac{1}{4\pi\epsilon_o}\int_V \rho dV\,\frac{(x-x')\hat{i}+(y-y')\hat{j}+(z-z')\hat{k}}{[(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2]^{\frac{3}{2}}}}}")
Se consideriamo una distribuzione lineare di carica, l’integrale sarà esteso a tutta la lunghezza L e dq=λdL. Per una distribuzione superficiale l’integrale è esteso a tutta la superficie S e dq=σdS. Comunque sia è un integrale di una certa difficoltà, anzi, toglierei anche il certa. Fortunatamente si studiano dei casi particolari, che sono sempre complessi, ma fattibili. Dalla prossima lezione iniziamo con lo studio di un filo uniformemente carico.