Velocita’

La velocità è una grandezza cinematica. Non e’ altro che lo spazio percorso diviso il tempo impiegato a percorrerlo

$\displaystyle{\mathbf{v=\frac{\Delta s}{\Delta t}}}$

ΔS e’ lo spazio percorso e Δt rappresenta quanto tempo ha impiegato a percorrerlo.

$\displaystyle{\mathbf{\frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s(t_2)-s(t_1)}{\Delta t}}}$

Notiamo che nel tratto ΔS non sappiamo che velocita’ ha avuto il punto materiale. Potrebbe essere andato a velocita’ costante oppure potrebbe aver percorso un tratto velocemente e poi aver rallentato, quindi questa velocita’ costituisce un valore medio

$\displaystyle{\mathbf{v_m = \frac{\Delta s}{\Delta t }}}$

Unita’ di misura : dato che la velocita’ e’ uno spazio fratto un tempo si misura in metri al secondo, nel sistema internazionale, m/s.

Attenzione spesso negli esercizi la velocita’ viene data in chilometri all’ora K_m/h , come passare da questi a m/s ? Basta ricordare che 1 K_m = 1000 m e che 1 h = 3600 s

$\displaystyle{\mathbf{\frac{1k_m}{1h} = \frac{1000m}{3600s} = \frac{1}{3,6} \frac{m}{s}}}$

e anche

$\displaystyle{\mathbf{1\frac{m}{s} = 3,6\frac{k_m}{h}}}$

ancora

$\displaystyle{\mathbf{10\frac{m}{s} = 36\frac{k_m}{h}}}$

ancora

$\displaystyle{\mathbf{30\frac{m}{s} = 108\frac{k_m}{h}}}$

e cosi’ via.

Riprendiamo il nostro punto materiale e consideriamo uno spostamento da P₁ a P₂ lungo un arco di curva

La posizione del punto materiale può essere seguita con due metodi :

-Quello basato sul raggio vettore

-Quello basato sull’introduzione di una ascissa curvilinea

$\displaystyle{\mathbf{v_m = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s(t_2)-s(t_1)}{\Delta t}}}$

Questa e’ una velocita’ scalare che non ci da’ nessuna informazione circa la direzione e il verso, la velocita’ non puo’ essere rappresentata solo dal suo modulo, ossia da uno scalare, ma deve essere correlata da direzione e verso. Dobbiamo riuscire ad introdurre una velocita’ vettoriale.

Ci interessa allora lavorare con il vettore

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{r}(t)}}$

Ma se poniamo

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{v}_m= \frac{\overrightarrow{\Delta r}}{\Delta t}}}$

commettiamo certamente un errore perche’ Δr e Δs possono essere anche molto diversi tra di loro, il primo rappresenta la distanza in linea retta tra punto iniziale e punto finale mentre il secondo e’ la distanza effettivamente percorsa.

Immaginiamo di comprimere sempre di piu’ il tempo, ossia facciamo il limite per Δt→0, in tal caso non parliamo piu’ di velocita’ media, ma di velocita’ istantanea. In pratica e’ come calcolare la velocità in un punto P.

Velocita’ istantanea :

$\displaystyle{\displaystyle{\mathbf{v = \lim_{\Delta t\rightarrow \ 0}\frac{\Delta s}{\Delta t}}}}$

Se lo riconoscete questo e’ il limite di un rapporto incrementale,quindi e’ la derivata dello spazio nel tempo

$\displaystyle{\mathbf{v=\lim_{\Delta{t}\rightarrow \ 0}\frac{s(t+\Delta{t})-s(t)}{\Delta{t}}=\frac{ds}{dt}=s'}}$

Introdotta la velocita’ istantanea, se ora poniamo

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{v}=\lim_{\Delta{t}\rightarrow \ 0}\frac{\Delta\overrightarrow{r}}{\Delta{t}}}}$

l’errore che commettiamo e’ trascurabile perche’ per Δt→0 abbiamo che Δs→Δr.

Abbiamo cosi’ definito la velocita’ vettoriale, lavoriamoci sopra

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{v}=\lim_{\Delta{t}\rightarrow \ 0}\frac{\Delta\overrightarrow{r}}{\Delta{t}}=\frac{d\overrightarrow{r}(t)}{dt}=\overrightarrow{r}'}}$

Ossia la velocita’ e’ la derivata rispetto al tempo del vettore r. Ci troviamo allora davanti alla derivata di un vettore, non solo, il vettore r dipende dal tempo, ossia se lo decomponiamo nelle sue componenti x, y e z ( qualunque vettore puo’ essere scritto come somma delle sue componenti ), lo possiamo scrivere come :

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{r} = x(t)\hat{i}+y(t)\hat{j}+z(t)\hat{k}}}$

dove

$\displaystyle{\mathbf{\hat{i} , \hat{j} , \hat{k}}}$

sono i versori degli assi x, y e z

Il vettore r dipende dal tempo perche’ le sue coordinate x, y, z dipendono dal tempo, ricordiamo che sono le coordinate di un punto mobile. Allora

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{v}=\frac{d\overrightarrow{r}}{dt}=\frac{d}{dt}(x(t)\hat{i}+y(t)\hat{j}+z(t)\hat{k})}}$

Dato che la derivata di una somma e’ la somma delle derivate

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{v}=\frac{d}{dt}x(t)\hat{i}+\frac{d}{dt}y(t)\hat{j}+\frac{d}{dt}z(t)\hat{k}}}$

Andiamo a svolgere questa derivata

I versori sono costanti nel tempo perche’ gli assi sono fissi, quindi sono solo x, y e z che variano con il tempo. Quindi i versori non li devo derivare

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{v}=\frac{dx}{dt}\hat{i}+\frac{dy}{dt}\hat{j}+\frac{dz}{dt}\hat{k}}}$

D’altro canto sappiamo che qualunque vettore puo’ essere decomposto secondo le sue componenti, allora posso scrivere per la velocita’

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{v}=v_x \hat{i}+v_y\hat{j}+v_z\hat{k}}}$

V_x , V_y e V_z sono le componenti della velocita’ lungo gli assi x, y e z.

Allora il vettore V lo posso scrivere in due modi

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{v}=\frac{dx}{dt}\hat{i}+\frac{dy}{dt}\hat{j}+\frac{dz}{dt}\hat{k}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{v}=v_x \hat{i}+v_y\hat{j}+v_z\hat{k}}}$

e dato che la scomposizione e’ unica, vuol dire che

$\displaystyle{\mathbf{v_x=\frac{dx}{dt}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{v_y=\frac{dy}{dt}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{v_z=\frac{dz}{dt}}}$ .

Cio’ vuol dire che la velocita’ ha tre componenti che si ottengono derivando ordinatamente i moti componenti. Ancora da notare che queste componenti sono tra di loro indipendenti.

Moti componenti Componenti della velocita’

X(t) $\displaystyle{\mathbf{v_x=\frac{dx}{dt}}}$ .

Y(t) $\displaystyle{\mathbf{v_y=\frac{dy}{dt}}}$ .

Z(t) $\displaystyle{\mathbf{v_z=\frac{dz}{dt}}}$ .

Esempio

Dati i moti componenti

X(t) = 5 t + 6

Y(t) = 10

Z(t) = -4 t +10

Le componenti della velocita’ sono

V_x = 5

V_y = 0

V_z = – 4

Il vettore velocita’ ha modulo

$\displaystyle{\mathbf{v=\sqrt{25+16}}}$

Prossima lezione Accelerazione teoria