Forze apparenti

Vogliamo studiare le forze in un sistema in moto con accelerazione di trascinamento a_tdiversa da zero rispetto ad un sistema fisso. Sappiamo quindi che stiamo trattando un sistema non inerziale. Se non ricordate queste cose tornate ai moti relativi studiati in cinematica .

Partiamo dal secondo principio della dinamica che ci dice che la sommatoria delle forze applicate alla massa m e’ pari alla massa moltiplicata per l’accelerazione

$\displaystyle{\mathbf{\sum\overrightarrow{F}=m\overrightarrow{\textbf{a}}}}$ .

Il sistema in cui e’ valido il secondo principio e’ quello inerziale e l’accelerazione e’ quella assoluta

$\displaystyle{\mathbf{\sum\overrightarrow{F}=m\overrightarrow{\textbf{a}}_a}}$ .

Mettiamoci ora in un sistema non inerziale, ad esempio dentro una giostra, l’accelerazione che valutiamo e’ quella relativa, a_r. Un osservatore nel sistema mobile ha una visione diversa da uno in un sistema fisso. Chi sta’ dentro una giostra in rotazione ha un punto di vista diverso da chi lo osserva da terra. Stando nel sistema mobile e volendo comunque scrivere il secondo principio ci verrebbe da porre

$\displaystyle{\mathbf{\sum\overrightarrow{F}=m\overrightarrow{\textbf{a}}_r}}$

ma questo, anche se e’ il nostro punto di vista, non possiamo farlo, perche’ se e’ vera quella di prima non e’ vera questa. Dobbiamo studiare questo problema e lo faremo in un modo un po’ particolare che pero’ ci fara’ capire quello che succede. Riprendiamo la relazione

$\displaystyle{\mathbf{\Delta\overrightarrow{S}_a=\Delta\overrightarrow{S}_r+\Delta\overrightarrow{S}_t}}$

Da cui passiamo alle velocita’

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{V}_a=\overrightarrow{V}_r+\overrightarrow{V}_t}}$

e infine alle accelerazioni

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\textbf{a}}_a=\overrightarrow{\textbf{a}}_r+\overrightarrow{\textbf{a}}_t}}$

Ricordate ? Altrimenti trovate tutto in Moti relativi

Moltiplichiamo tutto per la massa m

$\displaystyle{\mathbf{m\overrightarrow{\textbf{a}}_a=m\overrightarrow{\textbf{a}}_r+m\overrightarrow{\textbf{a}}_t}}$

Il primo termine e’ la somma di tutte le forze applicate alla massa m

$\displaystyle{\mathbf{\sum\overrightarrow{F}=m\overrightarrow{\textbf{a}}_r+m\overrightarrow{\textbf{a}}_t}}$

Prendiamo l’ultimo termine, quello con a_t e lo portiamo a primo membro

$\displaystyle{\mathbf{-m\overrightarrow{\textbf{a}}_t+\sum\overrightarrow{F}=m\overrightarrow{\textbf{a}}_r}}$

Quello che sembra un banale spostamento all’interno di un’equazione , puo’esssere valutato in maniera particolare. Nel secondo principio le forze stanno a primo membro, noi abbiamo spostato m a_t dal lato delle forze, ora quel termine lo stiamo valutando come una forza

$\displaystyle{\mathbf{-m\overrightarrow{\textbf{a}}_t= \overrightarrow{F}_{app}}}$

che chiamiamo forza apparente. Con questa posizione il secondo principio lo scriviamo :

$\displaystyle{\mathbf{\sum\overrightarrow{F}_{app}+\sum\overrightarrow{F}_{reali}=m\overrightarrow{\textbf{a}}_r}}$

Questo e’ il secondo principio espresso in un sistema non inerziale. Esso ci dice che : in un sistema non inerziale l’accelerazione e’ direttamente proporzionale alla risultante delle forze applicate, siano esse apparenti che reali, diviso la massa del corpo.

Ma cosa sono queste forze apparenti ? Non sono altro che i termini -m a_t , ossia i termini di trascinamento che dobbiamo aggiungere se stiamo in un sistema non inerziale. Nel classico caso del treno che sta’ accelerando o decelerando dobbiamo considerare questo termine di trascinamento. Un osservatore dentro al treno, quindi in un sistema mobile, vede l’accelerazione a_r relativa e per spiegersela non gli basta analizzare le forze reali, ma deve aggiungere quelle apparenti che sono legate al suo sistema di riferimento diciamolo “difettoso”.

Per fare un esempio pratico, se siamo in un treno che all’improvviso frena, veniamo gettati in avanti e diciamo che su di noi sta’ agendo una forza, allora aggiungiamo questa forza che e’ la forza apparente. Se il treno invece viaggia a velocita’ costante, non c’e’ nessuna accelerazione e su di noi non agisce alcuna forza, possiamo anche non reggerci, il sistema e’ inerziale.

Se non e’ ancora chiaro, cerchiamo di spiegarlo in un altro modo

Se il vagone frena veniamo catapultati in avanti

perche’ chi rallenta e’ il vagone, noi abbiamo la nostra velocita’ diciamola iniziale e alla fine ci troviamo spostati in avanti, non siamo noi che rallentiamo, ma il vagone. Come interpreto quello che mi sta’ accadendo ? Dico che una forza mi ha spinto e aggiungo quindi una forza che chiamo apparente, apparente perche’ in realta’ non c’e’ nessuno che mi spinge. Un osservatore che mi vede dai binari, nel riferimento fisso, non deve aggiungere nessuna forza apparente perche’ vede il treno che frena, vede m a_t . Chi e’ sui binari vede m a_ta destra dell’uguale nel secondo principio (conseguenza della frenata), chi e’ nel treno lo vede a sinistra perche’ lo sente come una forza.

Dopo aver chiarito il significato di forze apparenti o fittizie dobbiamo studiare cosa accade a noi, ad un pendolo, ad una molla , .. dentro un sistema in movimento con accelerazione di trascinamento diversa da zero, useremo come al solito il nostro treno.

Quello che succede e’ che la molla contrasta la forza apparente m a_t con la sua forza elastica

F_el = K ΔX dove ΔX e’ l’allungamento subito dalla molla

Vediamo cosa accade a noi nel treno che sta’ accelerando

Se non abbiamo appigli a cui reggerci dobbiamo confidare nell’attrito con il pavimento. L’attrito As, quello statico, visto che vogliamo rimanere fermi, si oppone alla forza apparente e, per non cadere

As – m a_t = 0 ⇒ As = m a_t dato che As = μ_s Rn = μ_s m g si ha

a_t ≤ μ_s g se vale questa disuguaglianza non cadiamo. Se non vi e’ chiaro rivedetevi le forze di attrito.

Vediamo cosa succede al pendolo

Questa volta consideriamo il treno in frenata. Quando il treno frena il pendolo prende ad oscillare per un po’ e alla fine rimane inclinato di un certo angolo θ (sempre mentre siamo in frenata). Vogliamo trovare l’angolo θ che il pendolo ha quando si raggiunge l’equilibrio tra tutte le forze P, T e F_app . Prendiamo il pendolo e disegniamocelo a parte con tutte le forze e le componenti lungo n e t

Scriviamo il secondo principio della dinamica, proiettato lungo gli assi n e t, all’equilibrio, quindi quando la massa e’ ferma

asse n : T – F_appsinθ – Pcosθ = m a_n = 0

asse t : F_appcosθ – Psinθ = m a_t = 0

Abbiamo uguagliato a zero le due equazioni perche’ siamo all’equilibrio. Inoltre, sempre perche’ stiamo considerando la situazione di equilibrio, l’angolo θ lo chiamiamo θ_eq di equilibrio.

Consideriamo l’equazione lungo l’asse t

F_appcosθ_eq = Psinθ_eq

$\displaystyle{\mathbf{\frac{F_{app}}{P}=\frac{\sin\theta_{eq}}{\cos\theta_{eq}}=\tan\theta_{eq}}}$ .

Esplicitiamo F_app e P

$\displaystyle{\mathbf{\tan\theta_{eq}=\frac{ma_t}{mg}=\frac{a_t}{g}}}$ .

Ora attenzione : la forza apparente nasce dai moti relativi

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\textbf{a}}_a=\overrightarrow{\textbf{a}}_r+\overrightarrow{\textbf{a}}_t}}$ .

Per il nostro pendolo, a_t e’ l’accelerazione del sistema mobile, del treno, a_a e’ quella a cui e’ sottoposta la massa quando oscilla, quindi e’ g accelerazione di gravita’, a_r e’ la gravita’ che il pendolo avverte nel treno, e’ l’accelerazione di gravita’ dal suo punto di vista, questa la chiamiamo g’. Scriviamo allora

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{\textbf{g'}}=\overrightarrow{\textbf{g}}-\overrightarrow{\textbf{a}}_t}}$ .

Nel treno avverto una gravita’ che non e’ g

Il pendolo si mette obliquo perche’ per lui la gravita’ e’ g’

g = g’cosθ l’angolo tra g e g’ e’ ovviamente θ

a_t = g’sinθ quindi e’ anche l’angolo tra g’ e a_t

Facendo il rapporto tra le due equazioni

$\displaystyle{\mathbf{\tan\theta_{eq}=\frac{a_t}{g}}}$ .

Che e’ esattamente quanto trovato prima.

Nella seconda parte della lezione mettiamo il pendolo in oscillazione, sempre mentre il treno sta’ frenando, e vediamo come oscilla intorno a questa nuova posizione di equilibrio, θ_eq , inutile dire che non sara’ una passeggiata.

Pagine: 1 2