Esercizi capacità e condensatori

Gli esercizi capacità e condensatori riguardano sia i condensatori nel vuoto che in presenza di dielettrico.

Esercizio 1

Un condensatore è formato da due piastre piane parallele di area S = 1 m²e separate da una distanza d = 8,85 mm. Calcolare la capacità del condensatore. Calcolare inoltre la carica su ogni piastra quando tra di esse vi è una d.d.p. di V = 100V.

Si tratta di un condensatore piano

In un condensatore piano il campo elettrico tra le armature è uniforme, ossia uguale in ogni punto.

$\displaystyle{\mathbf{E=\frac{\sigma}{\epsilon_o}}}$

La capacità è

$\displaystyle{\mathbf{C=\frac{Q}{V}}}$

il rapporto tra la carica accumulate sulle armature e la differenza di potenziale ai suoi capi.

Dobbiamo trovare V. Esso è dato dall’integrale del campo elettrico

$\displaystyle{\mathbf{V=\int_0^d E\, dx}}$

Dato che il campo è uniforme lo possiamo portare fuori dall’integrale

$\displaystyle{\mathbf{V=E\int_0^d \, dx=E\, d}}$

Sostituiamo a E la sua espressione

$\displaystyle{\mathbf{V=E\, d=\frac{\sigma}{\epsilon_o}\, d}}$

Riprendiamo la definizione di capacità

$\displaystyle{\mathbf{C=\frac{Q}{V}=\cfrac{Q}{\cfrac{\sigma}{\epsilon_o}\, d}}}$

Ora al posto di Q mettiamo σ S, densità superficiale di carica per la superficie.

$\displaystyle{\mathbf{C=\frac{Q}{V}=\cfrac{\sigma\, S}{\cfrac{\sigma}{\epsilon_o}\, d}=\frac{\epsilon_o\, S}{d}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{C=\frac{\epsilon_o\, S}{d}}}$

Questa è la capacità del condensatore piano.

Sostituiamo i valori numerici

$\displaystyle{\mathbf{C=\frac{8,85\times 10^{-12}\times 1}{8,85\times 10^{-3}}=10^{-9}F}}$

Passiamo alla densità di carica

$\displaystyle{\mathbf{E=\frac{\sigma}{\epsilon_o}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{V=E\, d\,\Longrightarrow\, E=\frac{V}{d}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\frac{V}{d}=\frac{\sigma}{\epsilon_o}\,\Longrightarrow\, \sigma = \frac{\epsilon_o\, V}{d}=10^{-7}C/m^2}}$

Esercizio 2

Un condensatore di capacità C = 5 μF viene caricato ad un potenziale V = 300 V. Calcolare la carica finale sul condensatore e il lavoro fatto per caricarlo.

Definizione di capacità

$\displaystyle{\mathbf{C=\frac{Q}{V}\,\Longrightarrow\, Q=CV=5\times 10^{-6}\times 300=1,5\times 10^{-3}C}}$

Per trovare il lavoro necessario a caricare il condensatore partiamo dal lavoro elementare necessario per mettere la carica elementare dq nel condensatore

$\displaystyle{\mathbf{dL=V\, dq}}$

Al posto di V mettiamo q/C

$\displaystyle{\mathbf{dL=\frac{q}{C}\, dq}}$

Ora integriamo tra i valori zero e Q (carica totale) della carica

$\displaystyle{\mathbf{L=\int_0^Q\frac{q}{C}\, dq=\frac{1}{C}\,\int_0^Q q\, dq=\frac{1}{2}\,\frac{Q^2}{C}=\frac{1}{2}\,\frac{(1,5\times 10^{-3})^2}{5\times 10^{-6}}=0,225J}}$

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