Equazioni goniometriche elementari

Le equazioni goniometriche elementari sono quelle del tipo

$\displaystyle{\mathbf{\sin x=m\qquad\sin hx=m\qquad\sin hx=\sin tx}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\cos x=m\qquad\cos hx=m\qquad\cos hx=\cos tx}}$

Più le identiche equazioni per la tangente di x e la cotangente di x.

Iniziamo dal seno di x

senx = m

Questa equazione ammette soluzioni solo se -1 ≤ m ≤ 1 , che possiamo anche scrivere |m| ≤ 1

Supponiamo di aver trovato una soluzione che chiamiamo α

$\displaystyle{\mathbf{\sin\alpha =m}}$

Archi associati

Se α è soluzione lo è anche π-α, vedi Archi associati.

Dalla figura si vede che il senα=sen(π-α)

La funzione seno è periodica di periodo 2π, quindi tutte le soluzioni saranno date da:

$\displaystyle{\mathbf{x=\alpha +2k\pi\qquad e\qquad x=\pi -\alpha +2k\pi}}$

con K ∈ Ζ.

Vediamo un esempio

$\displaystyle{\mathbf{\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}}}$

Sappiamo che una soluzione è π/4 , tutte le soluzioni sono

$\displaystyle{\mathbf{x=\frac{\pi}{4}+2k\pi}}$

$\displaystyle{\mathbf{x=\pi -\frac{\pi}{4}+2k\pi=\frac{3}{4}\,\pi +2k\pi}}$

Nello stesso modo si risolvono le equazioni del tipo

sen(hx) = m

Con h numero reale.

Deve sempre essere |m| ≤ 1 affinché esistano soluzioni. Trovata una soluzione α, tutte le soluzioni sono date dalle relazioni

$\displaystyle{\mathbf{hx=\alpha + 2k\pi\Longrightarrow x=\frac{\alpha}{h}\, +k\,\frac{2\pi}{h}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{hx=\pi -\alpha + 2k\pi\Longrightarrow x=\frac{\pi -\alpha}{h}\, +k\,\frac{2\pi}{h}}}$

Esempio

$\displaystyle{\mathbf{\sin 2x=\frac{\sqrt{2}}{2}}}$

Una soluzione è α = π/4, allora tutte le soluzioni sono :

$\displaystyle{\mathbf{2x=\frac{\pi}{4}\, +2k\pi \Longrightarrow x=\frac{\pi}{8}\, +k\pi}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{2x=\pi -\frac{\pi}{4}\, +2k\pi \Longrightarrow x=\frac{3}{8}\, \pi +k\pi}}$

Per finire il caso delle equazioni goniometriche elementari per la funzione seno resta da studiare

sen(hx) = sen(tx)

h e t sono numeri reali. Affinché valga questa uguaglianza deve risultare

$\displaystyle{\mathbf{hx=tx+2k\pi \qquad oppure\qquad hx=\pi -tx +2k\pi }}$

Esempio

$\displaystyle{\mathbf{\sin 5x=\sin 3x}}$

Dobbiamo imporre

$\displaystyle{\mathbf{5x=3x+2k\pi \Longrightarrow 5x-3x=2k\pi \Longrightarrow x=k\pi}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{5x=\pi -3x+2k\pi \Longrightarrow 8x=\pi +2k\pi \Longrightarrow x=\frac{\pi}{8} +k\,\frac{\pi}{4}}}$

Passiamo a studiare le equazioni riguardanti cosx.

cosx = m

Come al solito deve risultare |m| ≤ 1 altrimenti l’equazione non ha senso.

Trovata una soluzione α

notiamo che anche – α è soluzione

Tutte le soluzioni, dato che la funzione coseno è periodica di periodo 2π, sono

$\displaystyle{\mathbf{x=\alpha +2k\pi \qquad e \qquad x=-\alpha +2k\pi}}$

Subito un esempio

$\displaystyle{\mathbf{\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}}}$

Sappiamo che una soluzione è α = π/4, tutte le soluzioni saranno

$\displaystyle{\mathbf{x=\frac{\pi}{4}+2k\pi \qquad e \qquad x=-\frac{\pi}{4}+2k\pi}}$

O meglio

$\displaystyle{\mathbf{x=\pm\frac{\pi}{4}+2k\pi}}$

Altro caso

cos(hx) = m

sempre con |m| ≤ 1 e h numero reale.

Trovata una soluzione α, tutte le soluzioni le scriveremo

$\displaystyle{\mathbf{hx=\alpha +2k\pi \qquad e \qquad hx = -\alpha x+2k\pi}}$

Ossia

$\displaystyle{\mathbf{x=\frac{\alpha}{h}\, +k\, \frac{2\pi}{h}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{x=-\frac{\alpha}{h}\, +k\, \frac{2\pi}{h}}}$

Esempio

$\displaystyle{\mathbf{\cos \frac{x}{2}=-\frac{1}{2}}}$

Il coseno vale -1/2 a 120⁰ossia 2/3 π

Soluzioni

$\displaystyle{\mathbf{\frac{x}{2}=\pm \frac{2}{3}\, \pi +2k\pi}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{x=\pm\frac{4}{3}\, \pi +4k\pi}}$

Altro caso

cos(hx) = cos(tx)

con h e t numeri reali.

Dobbiamo imporre

$\displaystyle{\mathbf{hx=tx+2k\pi \qquad oppure \qquad hx=-tx+2k\pi}}$

e da queste ricavare x.

Esempio

$\displaystyle{\mathbf{\cos 7x =\cos \frac{x}{3}}}$

Imponiamo

$\displaystyle{\mathbf{7x=\frac{x}{3}\, +2k\pi \Longrightarrow 7x-\frac{x}{3}=2k\pi \Longrightarrow x=\frac{3}{10}\, k\pi}}$

Oppure

$\displaystyle{\mathbf{7x=-\frac{x}{3}\, +2k\pi \Longrightarrow 7x+\frac{x}{3}=2k\pi \Longrightarrow x=\frac{3}{11}\, k\pi}}$

Totale

$\displaystyle{\mathbf{x=\frac{3}{10}\, k\pi \qquad x= \frac{3}{11}\, k\pi}}$

Passiamo ora alle equazioni goniometriche elementari con la tangente

tgx = m

Questa volta su m non dobbiamo imporre nulla perché la funzione tgx può assumere tutti i valori reali.

Trovata una soluzione α, ossia tgα = m, tenendo conto che la tangente è periodica con periodo π, tutte le soluzioni sono date da:

$\displaystyle{\mathbf{x=\alpha +k\pi}}$

Esempio

$\displaystyle{\mathbf{\tan x=-\sqrt{3}}}$

Una soluzione è α = 2/3 π, infatti

$\displaystyle{\mathbf{\tan \frac{2}{3}\, \pi =-\sqrt{3}}}$

Le soluzioni sono

$\displaystyle{\mathbf{x= \frac{2}{3}\, +k\pi}}$

Passiamo al caso

tg(hx) = m

Trovata una soluzione α, tutte le soluzioni sono

$\displaystyle{\mathbf{hx=\alpha +k\pi \Longrightarrow x=\frac{\alpha}{h}\, +k\, \frac{\pi}{h}}}$

Esempio

$\displaystyle{\mathbf{\tan 4x=-1}}$

Scelto α = 3/4 π (potevamo prendere anche α = -π/4), scriviamo le soluzioni

$\displaystyle{\mathbf{4x=\frac{3}{4}\, \pi +k\pi \Longrightarrow x=\frac{3}{16}\, \pi +k\,\frac{\pi}{4}}}$

Infine vediamo il caso

tg(hx) = tg(tx)

Imponiamo

$\displaystyle{\mathbf{hx=tx +k\pi}}$

e da questa ricaviamo x

Esempio

$\displaystyle{\mathbf{\tan x=\tan \frac{x}{2}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{x=\frac{x}{2}\, +k\pi}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{x-\frac{x}{2}\, = k\pi}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{x=2k\pi}}$

Finiamo con le equazioni goniometriche elementari studiando il caso della cotangente. Lo facciamo direttamente con degli esempi, tanto è uguale al caso precedente.

ctgx = m

L’equazione ammette soluzioni per qualunque valore di m.

$\displaystyle{\mathbf{\cot x=1}}$

Una soluzione è α = π/4, tutte le soluzioni:

$\displaystyle{\mathbf{x=\frac{\pi}{4}\, +k\pi}}$

ctg(hx) = m

Sempre per m qualunque.

$\displaystyle{\mathbf{\cot \frac{5}{2}\, x=0}}$

La cotangente vale zero a π/2, quindi le soluzioni sono

$\displaystyle{\mathbf{\frac{5}{2}\, x=\frac{\pi}{2}\, +k\pi \Longrightarrow x=\frac{\pi}{5}\, +\frac{2}{5}\, k\pi}}$

Per finire

ctg(hx) = ctg(tx)

$\displaystyle{\mathbf{\cot \frac{x}{3}=\cot \frac{x}{4}}}$

Deve essere

$\displaystyle{\mathbf{ \frac{x}{3}=\frac{x}{4}\, +k\pi}}$

Da questa ricaviamo

$\displaystyle{\mathbf{ \frac{x}{3}-\frac{x}{4}=k\pi}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{x=12k\pi}}$

Prossima lezione Equazioni lineari in senx e cosx