Induzione da movimento

Vediamo qui come risolvere un tipico esercizio sull’induzione da movimento. Ovviamente dovete aver già studiato la legge di Faraday Neumann Lenz , conoscere la Forza di Lorentz ed eventualmente aver dato uno sguardo all’approfondimento sull’induzione elettromagnetica .

Abbiamo un circuito immerso in un campo magnetico uniforme di induzione B.

Induzione da movimento Il circuito è formato da una parte fissa, formata dai contatti striscianti e da una barretta libera di muoversi lungo i contatti. R è la resistenza complessiva del circuito.

I contatti metallici e la barretta formano una spira rettangolare.

B è un campo magnetico esterno che supponiamo uniforme.

Vogliamo calcolare il flusso concatenato con il circuito, la forza elettromotrice indotta, la forza che agisce sulla barretta mobile e la velocità della barretta.

Dato che la barra può essere spostata, mettiamo un riferimento x.

Riferimento x Scegliamo anche un verso di percorrenza per la spira. Il verso dato alla corrente, che verrà a scorrere durante il movimento, è scelto in modo da avere B e n (normale alla superficie racchiusa dalla spira) paralleli ed equiversi.

Calcolo del flusso concatenato

$\displaystyle{\mathbf{\Phi_C(\overrightarrow{\mathbf{B}})=\int_S\overrightarrow{\mathbf{B}}\cdot\hat{n}\, dS}}$

Dato che B e n sono paralleli, il prodotto scalare è massimo

$\displaystyle{\mathbf{\Phi_C(\overrightarrow{\mathbf{B}})=\int_SB\, dS}}$

Il campo B è uniforme, ossia è lo stesso in ogni punto, quindi non lo dobbiamo integrare. Se il campo magnetico non è uniforme, non potete portarlo fuori dall’integrale. Risulterà un’integrazione più complessa.

$\displaystyle{\mathbf{\Phi_C(\overrightarrow{\mathbf{B}})=\int_SB\, dS=B\int_s\, dS=B\, S=B\, L\, x(t)}}$

Al posto della superficie S abbiamo messo il prodotto L x(t)

Calcolo della f.e.m. indotta

$\displaystyle{\mathbf{f_i=-\frac{d\Phi_C(\overrightarrow{\mathbf{B}})}{dt}=-\frac{d}{dt}\Bigl (B\, L\, x(t)\Bigr )}}$

L’unica grandezza a variare con il tempo è x(t), quindi dobbiamo derivare solo quella.

$\displaystyle{\mathbf{f_i=-B\, L\,\frac{dx(t)}{dt}}}$

La derivata di x(t) rispetto al tempo è la velocità, che indichiamo con V_x(t)

$\displaystyle{\mathbf{f_i=-B\, L\, v_x(t)}}$

Questa relazione esprime la condizione che per avere una f.e.m. indotta ci vuole movimento.

Diamo una velocità alla barretta.

Abbiamo disegnato anche la f.e.m. indotta. La polarità la mettiamo secondo il verso di percorrenza scelto prima.

Calcolo della corrente indotta

$\displaystyle{\mathbf{i=\frac{f_i}{R}=-\frac{B\, L}{R}\, V_x}}$

La corrente ci viene negativa. Avendo dato una velocità verso destra, la forza elettromotrice indotta e la corrente indotta risultano contrarie a quanto scelto.

Verso reale E’ con questo verso che la f.e.m. indotta genera la corrente i tale da far diminuire il flusso concatenato. Con la velocità verso destra il flusso concatenato con la spira aumenta, e la corrente indotta deve tendere a farlo diminuire.

Calcolo della forza che agisce sulla barretta

Nella barretta in movimento scorre la corrente indotta, essa è immersa in un campo magnetico, quindi viene ad agire una forza. La calcoliamo con la seconda formula di Laplace.

$\displaystyle{\mathbf{d\overrightarrow{\mathbf{F}}=I\, d\overrightarrow{\mathbf{L}}\times\overrightarrow{\mathbf{B}}}}$

Forza frenante

La forza risulta frenante. Le forze sui lati fissi in questo caso non ci interessano.

Calcoliamo il modulo della forza

$\displaystyle{\mathbf{F=i\, L\, B=\frac{(L\, B)^2}{R}\, V_x}}$

In questa relazione B compare al quadrato. Questo vuol dire che, qualunque sia il verso di B, quello della forza non cambia.

La forza F cerca di annullare la causa che provoca lo scorrimento della corrente riducendo la velocità V_x.

Calcolo della velocità della barretta

Abbiamo calcolato la forza che agisce, a questa applichiamo il secondo principio della dinamica, o meglio, dovremmo dire la prima equazione cardinale

$\displaystyle{\mathbf{F_x=-\frac{(L\, B)^2}{R}\, V_x=ma_x}}$

Esprimiamo l’accelerazione come derivata della velocità

$\displaystyle{\mathbf{a_x=\frac{dv_x}{dt}}}$

L’equazione diventa

$\displaystyle{\mathbf{-\frac{(L\, B)^2}{R}\, V_x=m\,\frac{dv_x}{dt}}}$

La sistemiamo

$\displaystyle{\mathbf{\frac{dV_x}{dt}+\frac{L^2B^2}{mR}\, V_x=0}}$

Ed ecco un’equazione differenziale del primo ordine omogenea. Dato che l’abbiamo affrontata diverse volte, sappiamo che la soluzione è del tipo

$\displaystyle{\mathbf{Ae^{-\alpha t}}}$

Ossia

$\displaystyle{\mathbf{V(t)=V_0\, e^{-\frac{L^2B^2}{mR}\, t}}}$

V₀è la velocità iniziale della barretta.