Forze conservative

Per definire le forze conservative consideriamo un percorso tra i punti A e B lungo una curva C sulla quale la forza non e’ costante. Potrebbe ad esempio essere il caso di una barca che va da A a B lungo la rotta C sotto l’azione del vento.

Come gia’ fatto precedentemente, consideriamo spostamenti elementari e, conseguentemente forze elementari tali da poter essere considerate costanti durante lo spostamento ds. Il lavoro elementare eseguito dalla forza per lo spostamento ds e’

$\displaystyle{\mathbf{dL=\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{s}=F\cos\theta ds}}$

Per ottenere il lavoro da A a B dobbiamo sommare tutti i lavori elementari, ossia dobbiamo fare l’integrale tra A e B lungo la curva C

$\displaystyle{\mathbf{L_{A,B}=\int_{A}^{B}dL=\int_{A,C}^{B}\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{s}}}$

Sappiamo che

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{V}=\frac{d\overrightarrow{s}}{dt} \Longrightarrow d\overrightarrow{s}=\overrightarrow{V}dt}}$ .

dL puo’ allora essere espresso come

$\displaystyle{\mathbf{dL=\overrightarrow{F}\cdot\overrightarrow{V}dt}}$ .

e il lavoro tra A e B diventa

$\displaystyle{\mathbf{L_{A,B}=\int_{A}^{B}dL=\int_{A,C}^{B}\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{s}=\int_{t_A}^{t_B}\overrightarrow{F}\cdot\overrightarrow{V}\,dt}}$ .

Notate come sono cambiati gli estremi di integrazione, prima tra A e B, ora l’integrazione e’ nel tempo quindi gli estremi sono t_A tempo iniziale e t_B tempo finale.

Se per andare da A a B seguiamo un’altra curva, ad esempio D, il lavoro, sempre per andare da A a B, puo’ essere diverso

$\displaystyle{\mathbf{\int_{A,C}^{B}\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{s}\neq\int_{A,D}^{B}\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{s}}}$ .

Quando il lavoro varia al variare del percorso seguito, le forze che stiamo considerando sono dette non conservative. Esempi di tali forze sono gli attriti, le forze motrici.

Le forze conservative, invece, compiono un lavoro che e’ indipendente dal percorso seguito, per esse hanno importanza solo i punti di partenza e di arrivo. Un esempio di forza conservativa e’ la forza di gravita’ P. Dato che il lavoro non dipende dal particolare percorso seguito, si ha come conseguenza, che il lavoro compiuto lungo un percorso chiuso qualsiasi e’ nullo. Per dimostrarlo consideriamo due punti A e B lungo una curva chiusa formata da C₁ e C₂

Il lavoro compiuta dalla forza per un ciclo completo, quindi per andare da A a A e’

$\displaystyle{\mathbf{\int_{A,C_1}^{B}\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{s}+\int_{B,C_2}^{A}\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{s}=\int_{A,C_1}^{B}\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{s}-\int_{A,C_2}^{B}\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{s}=0}}$ .

Questo perche’ il valore dell’integrale non dipende dal particolare percorso, se C₁ o C₂ , seguito.

Nella prossima lezione vediamo in particolare il lavoro della forza peso.

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Forze conservative

Prossima lezione Lavoro della forza peso