Giro della morte

Vediamo un’applicazione dell’energia meccanica

Il nostro grave parte da fermo nella posizione 1, entra in una guida circolare nella posizione 2, dove ha velocita’ V₂ , arriva nel punto 3 con velocita’ V₃ . Vogliamo trovare l’altezza h minima da cui partire per riuscire a fare tutto il giro della guida circolare. Trascuriamo gli attriti.

Per prima cosa notiamo che all’interno della guida il moto non e’ circolare uniforme perche’ sicuramente V₂ > V₃ . Come al solito ci studiamo i vari punti essenziali separatamente.

Punto 1

E_m1 = m g h qui l’energia e’ tutta potenziale visto che la massa e’ ferma.

Punto 2

$\displaystyle{\mathbf{E_{m2}=\frac{1}{2}\,mV_2^2}}$ .

Nel punto 2 l’energia e’ tutta cinetica visto che siamo a quota zero..

Punto 3

$\displaystyle{\mathbf{E_{m3}=U_3^P+E_{C3}=mg2R+\frac{1}{2}\,mV_3^2}}$ .

Nel punto 3 la quota e’ 2R, ossia il diametro della guida circolare.

Applichiamo ora la conservazione dell’energia meccanica, lo possiamo fare perche’ le forze interessate sono conservative.

E_m1 = E_m3

$\displaystyle{\mathbf{mgh=mg2R+\frac{1}{2}\,mV_3^2\Longrightarrow gh=g2R+\frac{1}{2}\,V_3^2\Longrightarrow h=2R+\frac{1}{2}\frac{V_3^2}{g}}}$ .

Da questa vediamo, intanto, che h deve essere maggiore di 2R. Per conoscere h dobbiamo ricavare la velocita’ V₃ minima necessaria per proseguire lungo la circonferenza. Dobbiamo fare lo studio delle forze

Ci mettiamo nel sistema non inerziale, insieme alla massa, quindi aggiungiamo la forza centrifuga.

Notiamo che in questo caso, la reazione normale Rn non contrasta P, ma ha la sua stessa direzione. Questo perche’ siamo dentro la guida.

E’ la Fc che contrasta la forza peso P, e’ Fc che da’ il sostegno. Chi non fa’ cadere la massa e’ la velocita’, di conseguenza c’e’ la Fc.

Applichiamo il secondo principio lungo la normale alla traiettoria

$\displaystyle{\mathbf{F_C=P+R_n\Longrightarrow \frac{mV_3^2}{R}=mg+R_n}}$ .

Da questa relazione vediamo che, essendo P costante, piu’ cresce V₃piu’ cresce Rn. Vogliamo studiare il caso limite, ossia vogliamo la V_3min minima, quando la massa si sta’ per staccare. La condizione di distacco e’ che si annulli la reazione vincolare Rn, ossia Rn = 0. Se si annulla la Rn vuol dire che si sta’ distaccando. In questa situazione limite l’equazione diventa

$\displaystyle{\mathbf{\frac{mV_3^2}{R}=mg\Longrightarrow \frac{V_3^2}{R}=g\Longrightarrow V_3^2=Rg=V_{3min}^2}}$ .

Ora possiamo calcolarci il valore di h minimo necessario a percorrere tutto il giro

$\displaystyle{\mathbf{h=2R+\frac{V_3^2}{2g}\Longrightarrow h_{min}=2R+\frac{V_{3min}^2}{2g}=2R+\frac{Rg}{2g}=2R+\frac{R}{2}=\frac{5}{2}\,R}}$ .

h_min = 5/2 R e’ il valore minimo dell’altezza da cui dobbiamo lasciare la massa affinche’ riesca a compiere il giro della guida. Lo abbiamo chiamato il giro della morte perche’ ci ricorda un gioco del luna park chiamato proprio cosi’.

Nel prossimo esempio, sempre di applicazione dell’energia meccanica, inseriamo anche l’attrito e vediamo come operare.

I like physics

Giro della morte

Prossima lezione Esempio con attrito