Oscillazioni forzate

Eccoci all’ultima lezione sulle oscillazioni, questa volta oltre alla nostra massa e alla solita molla immerse in un fluido, aggiungiamo una forza esterna che non permette al sistema di evolvere liberamente, ma lo forza.

La F_ext e’ la forza esterna che tira la massa con la sua legge temporale. Scriviamo il secondo principio applicato alla massa

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{P}+\overrightarrow{R}_n+\overrightarrow{F}_{el}+\overrightarrow{F}_{ext}+\overrightarrow{R}_v=m\overrightarrow{a}}}$

Come sempre la proiettiamo lungo gli assi

asse Y : R_n = P

asse X : F_el,x + R_v,x + F_ext = m a_x

Prendiamo l’equazione lungo X e sostituiamoci le espressioni delle forze F_el,x = – k x ; R_v,x = – b V_x

– k x – b V_x + F_ext = m a_x

Ora teniamo conto che V_x e’ la derivata di x e che a_x e’ la derivata seconda di x

$\displaystyle{\mathbf{-kx-b\frac{dx}{dt}+F_{ext}=m\frac{d^2x}{dt^2}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{m\frac{d^2x}{dt^2}+b\frac{dx}{dt}+kx=F_{ext}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\frac{d^2x}{dt^2}+\frac{b}{m}\, \frac{dx}{dt}+\frac{k}{m}\,x=\frac{F_{ext}}{m}}}$ .

Come al solito siamo giunti ad un’equazione differenziale, in particolare questa e’ lineare, di ordine due, a coefficienti costanti e non omogenea. Sappiamo che la soluzione e’ formata da due termini di cui uno e’ la soluzione dell’equazione omogenea associata e l’altra e’ un integrale particolare

X(t) = X_omo(t) + X_part(t)

La soluzione dell’omogenea e’ la soluzione dell’equazione quando la poniamo uguale a zero, quindi quando non c’e’ F_ext , questa soluzione la conosciamo perche’ e’ una delle tre soluzioni trovate nel caso delle oscillazioni smorzate in cui non c’era F_ext , ossia e’ uno dei tre casi Δ > 0 , Δ < 0, Δ = 0. Andiamo allora a cercare l’integrale particolare. Questo, ovviamente dipende dal tipo di forza esterne applicata. Iniziamo dal caso in cui tale forza sia costante.

F_ext = F₀ = costante

cio’ vuol dire che la nostra forza e’ sempre uguale nel tempo. Se F_ext e’ costante, lo sara’ anche l’integrale particolare

X(t) = X_part = costante ⇒ le sue derivate sono nulle e l’equazione diventa

$\displaystyle{\mathbf{0+\frac{b}{m}\,0+\frac{k}{m}\,x_{part}=\frac{F_0}{m}\hspace{0,4cm}\Longrightarrow \hspace{0,4cm}x_{part}=\frac{F_0}{k}}}$ .

Questo e’ l’integrale particolare, la soluzione dell’equazione differenziale e’ allora

$\displaystyle{\mathbf{Caso\; \Delta >0\hspace{0,3cm}x(t)=e^{-\frac{b}{2m}\,t}\left (A\,e^{\gamma t}+B\,e^{-\gamma\,t}\right )+\frac{F_0}{k}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{Caso\; \Delta=0\hspace{0,3cm}x(t)=\left (A\,e^{\gamma t}+Bt\,e^{-\gamma t}\right )+\frac{F_0}{k}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{Caso\; \Delta <0\hspace{0,3cm}x(t)=C\,e^{-\frac{b}{2m}\, t}\, \cos(\omega' t+\phi)+\frac{F_0}{k}}}$ .

Geometricamente parlando, rispetto al caso in cui era assente la forza esterna, ora e’ come alzare le curve di F₀ / K

Le oscillazioni avvengono intorno a F₀/K

Si ha un transitorio iniziale dopo di cui arriviamo al regime permanente

La X_omo contribuisce solo al transitorio iniziale, invece X_part e’ una costante che rimane nel tempo.

Vediamo ora il caso di una forza esterna non costante, in particolare vedremo il caso di forza esterna armonica, facciamo questo caso perche’ una qualunque funzione del tempo puo’ essere vista come sovrapposizione di funzioni sinusoidali o cosinusoidali (vedi trasfomata di Fourier)

Consideriamo allora la seguente forza esterna F_ext = F_max cos(ω_ext t) e riprendiamo la nostra equazione differenziale

$\displaystyle{\mathbf{\frac{d^2x}{dt^2}+\frac{b}{m}\, \frac{dx}{dt}+\frac{k}{m}\,x=\frac{F_{ext}}{m}}}$ .

La soluzione e’ sempre del tipo X(t) = X_omo(t) + X_part(t) dove la X_omo(t) e’ sempre quella di prima visto che e’ quella senza la F_ext .

Vediamo allora come cambia la soluzione particolare.

Se la F_ext e’ di tipo cosinusoidale, lo e’ anche X_part(t) ed e’

X_part(t) = B F_max cos(ω_ext t – φ) Il fatto che questa sia soluzione dell’equazione differenziale

$\displaystyle{\mathbf{\frac{d^2x}{dt^2}+\frac{b}{m}\,\frac{dx}{dt}+\frac{k}{m}\,x =\frac{F_{max}}{m}\cos(\omega_{ext}t)}}$ .

lo si puo’ vedere sostituendola, assieme alle sue derivate, nell’equazione differenziale. Il moto risulta periodico con la frequenza della sollecitazione della F_ext , ossia dopo un transitorio il sistema e’ forzato al ritmo della forza esterna. Come prima la soluzione dell’omogenea sparisce nel tempo e cio’ che rimane permanentemente e’ la X_part. L’ampiezza delle oscillazioni, ossia BF_max dipende dal coefficiente di smorzamento (b) e dalle pulsazioni libere del sistema e quelle forzate dall’esterno, ω₀ e ω_ext

$\displaystyle{\mathbf{B=\frac{1}{\sqrt{m^2(\omega_0^2-\omega_{ext}^2)^2+b^2\omega_{ext}^2}}}}$ .

Riportiamo l’andamento di B

Il massimo di B si ha quando si annulla il termine (ω²₀– ω²_ext)² quindi per ω₀ = ω_ext e B vale

$\displaystyle{\mathbf{B_{max}=\frac{1}{\sqrt{b^2\omega_{ext}^2}}=\frac{1}{b\omega_{ext}}=\frac{1}{b\omega_0}}}$ .

Quando ω_ext = 0 B assume il valore

$\displaystyle{\mathbf{B=\frac{1}{\sqrt{m^2\omega_0^4}}=\frac{1}{m\omega_0^2}}}$ .

Attenzione ad un caso molto particolare, abbiamo trovato che

$\displaystyle{\mathbf{B_{max}=\frac{1}{b\omega_0}}}$ .

in assenza o quasi di viscosita’ se ω_exte’ ≅ ω₀ B → ∞ e la soluzione particolare, per quella frequenza, porta ad oscillazioni enormi che causano la rottura del sistema. Questo fenomeno e’ detto di risonanza meccanica ed e’ molto importante per quei sistemi meccanici elastici sottoposti a vibrazioni forzate.

Prossima lezione Pendolo semplice