Teorema della circuitazione di Ampere

Questa lezione sul teorema della circuitazione di Ampere è per il liceo, se stai preparando l’esame di fisica lo stesso argomento lo trovi a questo link.

Torniamo un attimo indietro al campo elettrico. Quando lo abbiamo studiato è stata introdotta la funzione energia potenziale elettrica U ponendo

$\displaystyle{\mathbf{L=U_A-U_B}}$

Questo è stato possibile perché il lavoro compiuto dalla forza elettrica per spostare una carica q da un punto A ad un punto B del campo elettrico non dipende dal percorso seguito, ma solo dal punto iniziale A e da quello finale B.

Abbiamo allora stabilito che

Il campo elettrostatico è conservativo.

In particolare, se il punto A coincide con il punto B allora

$\displaystyle{\mathbf{U_A=U_B\,\Longrightarrow\, L=0}}$

Il lavoro compiuto dalla forza elettrica lungo una traiettoria chiusa è nullo.

Vediamo come si calcola il lavoro della forza elettrica lungo una traiettoria chiusa. Lo facciamo nel caso in cui il campo elettrico E non è uniforme, ossia non ha lo stesso valore in ogni punto.

Circuitazione di Ampere Questo è il percorso chiuso, A ≡ B. Lo suddividiamo in tanti spostamenti ΔS₁, ΔS₂, . . . così piccoli da poter ritenere, in ognuno di essi E costante.

Indichiamo con α₁, α₂, . . . gli angoli che, rispettivamente, E₁, E₂, . . . formano con ΔS₁, ΔS₂, . .

Il lavoro totale compiuto dalla forza elettrica lungo tutto il percorso da A a b, con A ≡ B, è dato dalla somma dei lavori compiuti per ogni singolo spostamento.

Ricordiamo la definizione di lavoro

$\displaystyle{\mathbf{L=F\, s\, \cos\alpha}}$

forza per spostamento per il coseno dell’angolo tra F e S. Inoltre la forza elettrica è pari al campo elettrico E moltiplicato per la carica q.

$\displaystyle{\mathbf{L=q\, E\, s\, \cos\alpha}}$

Il lavoro totale sarà

$\displaystyle{\mathbf{L_t=q\, E_1\, \Delta S_1\, \cos\alpha_1 +q\, E_2\, \Delta S_2\, \cos\alpha_2 + \cdots}}$

Ma questo è pari a zero perché A ≡ B.

Tutto questo lo possiamo scrivere in maniera abbreviata

$\displaystyle{\mathbf{\sum_{i=1}^n E_i \Delta S_1 \cos\alpha _i =0}}$

Questa sommatoria costituisce la circuitazione del campo elettrico, essa viene anche espressa

$\displaystyle{\mathbf{C(\overrightarrow{\mathbf{E}})=0}}$

La circuitazione del campo elettrico lungo una qualunque traiettoria chiusa è pari zero. Il campo elettrico è conservativo.

Vogliamo ora stabilire se anche il campo magnetico B è conservativo.

Consideriamo un filo percorso da corrente e come linea chiusa una linea di forza del campo magnetico a distanza r da esso. Sappiamo che sono circonferenze concentriche con il filo.

Ricordiamo che il vettore induzione magnetica è in ogni punto tangente alla linea di forza.

Abbiamo già calcolato il modulo di B per un filo rettilineo

$\displaystyle{\mathbf{B=\frac{\mu_0\, i}{2\pi\, r}}}$

Lungo una circonferenza concentrica con il filo B ha sempre lo stesso valore perché la distanza r da esso non varia.

Dividiamo il percorso in tanti piccoli spostamenti e, come fatto prima scriviamo la circuitazione, ora di B.

$\displaystyle{\mathbf{C(\overrightarrow{\mathbf{B}})=B \Delta S_1 + B \Delta S_2 + \cdots =B(\Delta S_1 + \Delta S_2 + \cdots )}}$

Il coseno dell’angolo tra B e ΔS questa volta non compare perché l’induzione magnetica è parallelo allo spostamento (per piccoli spostamenti) in ogni punto della linea di forza, quindi l’angolo è zero e cos0 = 1.

Notiamo che

$\displaystyle{\mathbf{\Delta S_1 + \Delta S_2 + \cdots =2\,\pi\, r}}$

La somma di tutti gli spostamenti è proprio la lunghezza della circonferenza.

$\displaystyle{\mathbf{C(\overrightarrow{\mathbf{B}})=B\, 2\,\pi\, r}}$

Sostituiamo a B la sua espressione

$\displaystyle{\mathbf{C(\overrightarrow{\mathbf{B}})=\frac{\mu_0\, i}{2\,\pi\, r}\, 2\,\pi\, r=\mu_0\, i}}$

La corrente i è quella abbracciata dalla linea chiusa, nel nostro caso è la corrente che scorre nel filo. Questa corrente si dice concatenata con la linea chiusa.

Teorema della circuitazione di Ampere

La circuitazione del vettore induzione magnetica B, calcolata lungo un percorso chiuso è

$\displaystyle{\mathbf{C(\overrightarrow{\mathbf{B}})= \mu_0\, i}}$

dove i è l somma delle correnti concatenate con la linea chiusa.

Nel calcolo della circuitazione di B una corrente è presa come positiva se il suo verso è concorde con quello di avanzamento di una vite destra che ruota secondo il verso positivo di percorrenza scelto lungo la linea chiusa. Se il verso è opposto la corrente va considerata negativa.

Nella figura la linea abbraccia due correnti di cui la i₁è positiva e la i₂negativa.

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