Oscillazioni smorzate

E’ arrivato il momento di complicarci la vita per bene perche’ andiamo a considerare sempre la molla e la massa, ma questa volta le immergiamo in un fluido che oppone resistenza alle oscillazioni.

Abbiamo immerso il tutto in olio. Lanciamo la massa verso destra con velocita’ V_x e andiamo a studiare le oscillazioni che ora non perdurano nel tempo, ma risultano smorzate.

Applichiamo il secondo principio alla massa

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{P}+\overrightarrow{R}_n+\overrightarrow{F}_{el}+\overrightarrow{R}_v=m\overrightarrow{a}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{F}_{el}=-kx\hat{\imath}\hspace{0,4cm} e \hspace{0,2cm}\overrightarrow{R}_v=-b\overrightarrow{v}}}$ .

Come abbiamo gia’ detto R_v e’ sempre contraria a V, quando la velocita’ si inverte, si inverte anche R_v.

Proiettiamo secondo gli assi x e y

asse y: R_n = P

asse x: -kx – bV_x = m a_x

Consideriamo l’equazione lungo l’asse x dove x e’ una funzione del tempo, V_x e’ la sua derivata prima e a_x e’ la sua derivata seconda

$\displaystyle{\mathbf{-kx-b\frac{dx}{dt}=m\frac{d^2x}{dt^2}}}$

Come al solito ce la sistemiamo meglio

$\displaystyle{\mathbf{m\frac{d^2x}{dt^2}+b\frac{dx}{dt}+kx=0}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\frac{d^2x}{dt^2}+\frac{b}{m}\,\frac{dx}{dt}+\frac{k}{m}\, x=0}}$ .

Come al solito ci troviamo davanti ad un’equazione differenziale, in particolare questa e’ lineare, a coefficienti costanti, omogenea e del secondo ordine. Dobbiamo risolverla. Scriviamo l’equazione caratteristica

$\displaystyle{\mathbf{\alpha^2+\frac{b}{m}\,\alpha+\frac{k}{m}=0}}$

Siamo cosi’ passati ad un’equazione di secondo grado le cui due soluzioni sono date da :

$\displaystyle{\mathbf{\alpha_{1,2}=-\frac{b}{2m}\pm \sqrt{\left (\frac{b}{2m}\right )^2-\frac{k}{m}}}}$

A questo punto arrivano i guai perche’ dobbiamo distinguere tre casi in dipendenza del segno del discriminante, ossia del segno di cio’ che e’ sotto radice

Δ > 0 oppure Δ < 0 oppure Δ = 0

Iniziamo dal caso Δ > 0, questo vuol dire che

$\displaystyle{\mathbf{\left (\frac{b}{2m}\right )^2>\frac{k}{m}\;\Longrightarrow\; b^2>4mk}}$

Il che significa alta viscosita’, la viscosita’ si contrappone alla costante elastica della molla.

Δ > 0 implica che l’equazione ammette due soluzioni reali e distinte e, se ricordate il teorema della permanenza del segno, ambedue negative.

Vediamo il caso Δ = 0. Se il discriminante e’ nullo allora

b² = 4 m k le soluzioni sono coincidenti. Diciamo subito che questo e’ un caso di difficile realizzazione perche’ b deve essere uguale proprio a quel valore.

Caso Δ < 0

b² < 4 m k questo indica bassa viscosita’ oppure alto valore di K. Le soluzioni sono complesse coniugate.

Ricapitolando con Δ < 0 le oscillazioni sono smorzate, con Δ = 0 e Δ > 0 vedremo che non ci sono oscillazioni, ma si tende rapidamente verso l’equilibrio. Andiamo ad approfondire quanto visto.

Caso Δ < 0 b² < 4 m k

$\displaystyle{\mathbf{\alpha_{1,2}=-\frac{b}{2m}\pm\sqrt{\left(\frac{b}{2m}\right )^2-\frac{k}{m}}=-\frac{b}{2m}\pm\sqrt{-1}\sqrt{\frac{k}{m}-\left (\frac{b}{2m}\right )^2}}}$

poniamo ora

$\displaystyle{\mathbf{\frac{k}{m}=\omega_0^2\hspace{0,4cm}pulsazione\:delle\:oscillazioni\:libere}}$

Con questo le due soluzioni diventano:

$\displaystyle{\mathbf{\alpha_{1,2}=-\frac{b}{2m}\pm i\sqrt{\omega_0^2-\left (\frac{b}{2m}\right )^2}}}$

Poniamo

$\displaystyle{\mathbf{\sqrt{\omega_0^2-\left (\frac{b}{2m}\right )^2}=\omega'\hspace{0,4cm}pulsazione\:delle\:oscillazioni\:smorzate}}$

Notiamo che la pulsazione risulta diminuita dalla presenza dell’attrito viscoso, rispetto al caso in cui non veniva considerato.

Sappiamo che la soluzione dell’equazione differenziale puo’ essere posta nella forma

$\displaystyle{\mathbf{x(t)=Ae^{\alpha_1 t}+Be^{\alpha_2 t}\hspace{0,4cm} dove\qquad\alpha_1=-\frac{b}{2m}+i\omega'\hspace{0,5cm}e\qquad\alpha_2=-\frac{b}{2m}-i\omega'\;sostituendole\;in\;x(t)}}$ :

$\displaystyle{\mathbf{x(t)=A\,e^{-\frac{bt}{2m}+i\omega' t}+B\,e^{-\frac{bt}{2m}-i\omega' t}\hspace{0,4cm} sistemiamo\,un\,po'}}$ :

$\displaystyle{\mathbf{x(t)=A\;e^{-\frac{bt}{2m}}\,e^{i\omega' t}+B\;e^{-\frac{bt}{2m}}\,e^{-i\omega' t}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{x(t)=e^{-\frac{b}{2m}}\, t\overbrace { \left (A\, e^{i\omega' t}+B\,e^{-i\omega' t}\right )}^{come\,osc.\,libere}}}$ .

La parte di formula sotto la parentesi graffa e’ uguale a quanto ottenuto nelle oscillazioni libere con ω^‘ al posto di ω₀ . Possiamo allora utilizzare quanto gia’ visto in quel caso e porre

$\displaystyle{\mathbf{A\,e^{i\omega' t}+B\,e^{-i\omega' t}=C\,cos(\omega' t+\phi)\hspace{0,4cm}allora\;x(t)\;diventa}}$ :

$\displaystyle{\mathbf{x(t)=C\,e^{-\frac{b}{2m}\,t}\,cos(\omega' t+\phi)}}$

In questa riconosciamo : ω^‘ pulsazione delle oscillazioni smorzate, b che tiene conto della viscosita’ e cos( ω^‘ t + Φ) essere una funzione oscillante. Il cos e’ una funzione che oscilla tra +1 e -1, la nostra x(t) sara’ allora una funzone che oscilla tra

$\displaystyle{\mathbf{C\,e^{-\frac{b}{2m}\,t}\qquad e\qquad -C\,e^{-\frac{b}{2m}\,t}}}$ .

Questo vuol dire che il coseno oscilla tra valori via via sempre piu’ piccoli. Grafichiamo la nostra soluzione

Approfondiamo ora il caso Δ > 0

b² > 4 m k

$\displaystyle{\mathbf{\alpha_{1,2}=-\frac{b}{2m}\pm\overbrace {\sqrt{\left (\frac{b}{2m}\right )^2-\frac{k}{m}}}^{\gamma}}}$

Chiamiamo γ quella radice, allora

$\displaystyle{\mathbf{\alpha_{1,2}=-\frac{b}{2m}\pm\gamma}}$

Dove ora γ e’ un numero reale. Siamo in assenza di oscillazioni. La soluzione dell’equazione differenziale, in questo caso diventa

$\displaystyle{\mathbf{x(t)=A\,e^{\alpha_1 t}+B\,e^{\alpha_2 T}=A\,e^{(-\frac{b}{2m}+\gamma)\,t}+B\,e^{(-\frac{b}{2m}-\gamma)\,t}=A\,e^{-\frac{b}{2m}\,t}\,e^{\gamma t}+B\,e^{-\frac{b}{2m}\,t}\,e^{-\gamma t}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{x(t)=e^{-\frac{b}{2m}\,t}\left (A\,e^{\gamma t}+B\,e^{-\gamma T}\right )}}$

Il secondo termine tra parentesi, nel tempo, va a sparire, tende a zero, rimane solo il primo termine che quindi e’ il termine dominante. Andiamo a graficare anche questo caso

Caso molto viscoso, le oscillazioni scompaiono

Rimane da affrontare il caso Δ = 0

Viene chiamato smorzamento critico

b² = 4 m k

$\displaystyle{\mathbf{\alpha_{1,2}=-\frac{b}{2m}\pm\overbrace {\sqrt{\left (\frac{b}{2m}\right )^2-\frac{k}{m}}}^{0}\qquad quindi}}$ ,

$\displaystyle{\mathbf{\alpha_{1,2}=-\frac{b}{2m}}}$ .

Abbiamo due soluzioni coincidenti e la soluzione dell’equazione e’ del tipo

$\displaystyle{\mathbf{x(t)=(A+Bt)\,e^{\alpha t}=(A+Bt)\,e^{-\frac{b}{2m}\,t}}}$

Questa equazione corrisponde ad un moto aperiodico in cui il punto tende a tornare nella posizione di equilibrio con un moto unidirezionale il piu’ rapidamente possibile.

Questa condizione viene detta di smorzamento critico e si cerca di realizzarla nei casi in cui si vuole raggiungere la posizione di equilibrio rapidamente e senza oscillazioni.

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Oscillazioni smorzate

Caso Δ < 0 b² < 4 m k

Approfondiamo ora il caso Δ > 0

Rimane da affrontare il caso Δ = 0

Purtroppo non abbiamo ancora finito con le oscillazioni, ci rimangono quelle forzate che vedremo nella prossima lezione.

Andiamo alle Oscillazioni forzate

Caso Δ < 0 b2 < 4 m k

Approfondiamo ora il caso Δ > 0

Rimane da affrontare il caso Δ = 0

Purtroppo non abbiamo ancora finito con le oscillazioni, ci rimangono quelle forzate che vedremo nella prossima lezione.

Andiamo alle Oscillazioni forzate

Caso Δ < 0 b² < 4 m k