Pendolo conico

Il pendolo conico e’ formato da una massa m che ruota lungo una circonferenza orizzontale ed e’ inoltre appeso ad un filo di lunghezza L.

Per ottenere questo moto dobbiamo dare al pendolo una certa velocita’ angolare. Dato che la massa m sta’ ruotando, un osservatore sul pendolo, oltre alla forza peso P e alla tensione T deve aggiungere la forza centrifuga F_c_,perchè il suo sistema non e’ inerziale. La forza centrifuga ha direzione radiale (quella del raggio) uscente e mantiene il pendolo con una inclinazione θ.

Vogliamo capire sotto quali condizioni si instaura questo moto e quando queste tre forze riescono a mantenere l’equilibrio. Scriviamo il secondo principio quando siamo all’equilibrio

$\displaystyle{\mathbf{\overrightarrow{P}+\overrightarrow{T}+\overrightarrow{F}_c=0}}$ .

Proiettiamo questa equazione vettoriale lungo gli assi x e z. Perche’ scegliamo questi assi ? Per minimizzare le forze, sono quelli che piu’ ci convengono

asse z : Tcosθ – P = 0

asse x : F_c – Tsinθ = 0

Cerchiamo l’equilibrio sia lungo x che lungo z, ossia non vogliamo movimento della massa sia verso l’alto che lateralmente, deve percorrere quella circonferenza.

Tcosθ = P

Tsinθ = F_c

Facciamo ora il quoziente tra queste due equazioni

$\displaystyle{\mathbf{\frac{T\cos\theta}{T\sin\theta}=\frac{P}{F_c}}}$ .

Sappiamo che F_c = ω²R m dove R e’ il raggio della circonferenza descritta dalla massa m, dalla figura vediamo che R = Lsinθ. Sostituiamo questi nell’equazione di prima, semplifichiamo T e poniamo P = mg

$\displaystyle{\mathbf{\frac{\cos\theta}{\sin\theta}=\frac{mg}{m\omega^2L\sin\theta}}}$ .

$\displaystyle{\mathbf{\cos\theta=\frac{g}{\omega^2L}}}$ .

Se osserviamo questa relazione notiamo che ha delle limitazioni, questo perche’ θ puo’ variare tra 0⁰ e 90⁰ quindi cosθ puo’ assumere solo i valori compresi tra 0 e 1. Questo vuol dire che non tutti i valori di ω vanno bene. Se ad esempio ω ha un valore molto piccolo, avremmo cosθ > 1, ossia un θ immaginario.La conclusione che ne traiamo e’ che questo tipo di moto non si instaura sempre, ma deve essere soddisfatta la condizione

cosθ ≤ 1 quindi che θ sia reale

$\displaystyle{\mathbf{\cos\theta=\frac{g}{\omega^2L}\leq 1\hspace{0,5cm}\Longrightarrow \omega^2\geq \frac{g}{L}\hspace{0,5cm}\Longrightarrow\omega\geq\sqrt{\frac{g}{L}}}}$ .

Da questa relazione troviamo la minima velocita’ angolare per instaurare la rotazione. La velocita’ angolare puo’ essere grande quanto ci pare, l’angolo θ puo’ arrivare a 90⁰, ma ω non puo’ scendere sotto questo valore minimo altrimenti questo tipo di moto non si instaura.